Encontre o espaço-nulo da seguinte matriz:
A=\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 2 & 4 & 2 \\ 6 & -3 & 0 & 9 \\ 1 & 1 & 3 & 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o espaço-nulo da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 & 2\\\\ 6 & -3 & 0 & 9\\\\ 1 & 1 & 3 & 3 \end{pmatrix},
ou seja, o conjunto de vetores \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T que satisfaçam A\mathbf{x}=\mathbf{0}. Para encontrar esse espaço, vamos usar eliminação de Gauss até obter a forma escalonada reduzida da matriz.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes e, para ter pivô não nulo na primeira linha, trocamos R_1\leftrightarrow R_3. Em seguida eliminamos o elemento abaixo do pivô usando R_2\leftarrow R_2-6R_1. Isso leva a
\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 & 2\\\\ 6 & -3 & 0 & 9\\\\ 1 & 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \;\overset{R_1\leftrightarrow R_3}{\longrightarrow}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3\\\\ 6 & -3 & 0 & 9\\\\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{pmatrix} \;\overset{R_2\leftarrow R_2-6R_1}{\longrightarrow}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3\\\\ 0 & -9 & -18 & -9\\\\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Dividimos R_2 por -9 para obter pivô unitário em (2,2), depois eliminamos as entradas acima e abaixo desse pivô:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3\\\\ 0 & -9 & -18 & -9\\\\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{pmatrix} \;\overset{R_2\leftarrow -\frac{1}{9}R_2}{\longrightarrow}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3\\\\ 0 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{pmatrix}.
Em seguida aplicamos R_3\leftarrow R_3-2R_2 e R_1\leftarrow R_1-R_2, obtendo a forma escalonada reduzida
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Da última matriz lemos o sistema
\begin{cases} x_1 + x_3 + 2x_4 = 0,\\\ x_2 + 2x_3 + x_4 = 0. \end{cases}
Escolhendo variáveis livres x_3 = s e x_4 = t, temos
x_1 = -s - 2t,\quad x_2 = -2s - t.
Portanto o vetor solução é
\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
com s,t\in\mathbb{R}.

Resposta

\mathrm{Nul}(A) = \mathrm{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.

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