Use séries para aproximar a integral definida com a precisão de tres casas decimais,
Passo 1
O enunciado pede para aproximar, com precisão de três casas decimais, a integral
Usaremos séries de potências (expansão de Taylor de
) e integração termo a termo, além do critério do teorema da série alternada para estimar o erro.
Passo 2
Começamos pela série de Taylor de
em torno de
:
Fazendo
obtemos
Passo 3
Multiplicamos por
e integramos de
a
termo a termo:
então
Passo 4
Agora calculamos os primeiros termos desta série alternada:
n :
n
n
:
n
:
n
:
Passo 5
Somando até
temos
O próximo termo (n
) em valor absoluto é cerca de
, que já é menor que
. Pelo critério da série alternada, o erro ao truncar após
é no máximo esse valor, o que garante três casas decimais corretas.
Resposta
Aproximando com três casas decimais,