|2,0| Use séries para aproximar a integral definida com a precisão de tres casas decimais,
\int_{0}^{1} x \cos \left(x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar, com precisão de três casas decimais, a integral
\int_{0}^{1} x\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx
Usaremos séries de potências (expansão de Taylor de \cos t) e integração termo a termo, além do critério do teorema da série alternada para estimar o erro.

Passo 2

Começamos pela série de Taylor de \cos t em torno de t=0:
\cos t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,t^{2n}.
Fazendo t=x^{3} obtemos
\cos\bigl(x^{3}\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,x^{6n}.

Passo 3

Multiplicamos por x e integramos de 0 a 1 termo a termo:
x\cos\bigl(x^{3}\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,x^{6n+1},
então
\int_{0}^{1} x\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} \int_{0}^{1} x^{6n+1}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!\,(6n+2)}.

Passo 4

Agora calculamos os primeiros termos desta série alternada:
n =0:
\frac{(-1)^{0}}{0!\,(6\cdot0+2)} = \frac{1}{2} = 0{,}5.
n =1:
\frac{(-1)^{1}}{2!\,(6\cdot1+2)} = -\frac{1}{2\cdot8} = -\frac{1}{16} = -0{,}0625.
n =2:
\frac{(-1)^{2}}{4!\,(6\cdot2+2)} = \frac{1}{24\cdot14} = \frac{1}{336}\approx 0{,}00297619.
n =3:
\frac{(-1)^{3}}{6!\,(6\cdot3+2)} = -\frac{1}{720\cdot20} = -\frac{1}{14400}\approx -0{,}00006944.

Passo 5

Somando até n=2 temos
0{,}5 - 0{,}0625 + 0{,}00297619 = 0{,}44047619.
O próximo termo (n =3) em valor absoluto é cerca de 0{,}00006944, que já é menor que 0{,}0005. Pelo critério da série alternada, o erro ao truncar após n=2 é no máximo esse valor, o que garante três casas decimais corretas.

Resposta

Aproximando com três casas decimais,
\int_{0}^{1} x\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx \approx 0{,}440.

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