Seja a matriz A abaixo. Para qual(is) valor(es) de k a matriz é linearmente dependente?
A=\left[\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} -1 & -1 & -2 \\\\ -2 & -1 & k \\\\ 0 & -1 & 2 \\\\ -3 & -4 & -4 \end{array}\right]
Para cada valor de k encontrado, aponte os coeficientes da combinação linear das duas primeiras colunas de A que resultem na última coluna desta matriz.

Passo 1

Resumindo: temos a matriz
A=\bigl[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\bigr] =\begin{pmatrix} -1 & -1 & -2\\\\ -2 & -1 & k\\\\ 0 & -1 & 2\\\\ -3 & -4 & -4 \end{pmatrix}
e queremos os valores de k para que as colunas de A sejam linearmente dependentes, ou seja, exista uma combinação
a_{3} = x\,a_{1} + y\,a_{2}.

Passo 2

Escrevendo componente a componente essa igualdade, obtemos o sistema
\begin{cases} -2 = -x - y,\\\ k = -2x - y,\\\\ 2 = 0\cdot x - y,\\\\ -4 = -3x - 4y. \end{cases}
Usamos a terceira equação para encontrar y.

Passo 3

Da equação 2 = -y segue
y = -2.
Substituindo em -2 = -x - y (primeira equação) dá
-2 = -x - (-2)\quad\Longrightarrow\quad -2 = -x + 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 4.

Passo 4

Com x=4 e y=-2 substituímos na segunda equação k = -2x - y:
k = -2\cdot4 - (-2) = -8 + 2 = -6.
Verificamos na quarta equação:
-3\cdot4 -4\cdot(-2) = -12 +8 = -4,
que coincide com o termo independente, logo não há contradição.

Resposta

O único valor de k para o qual as colunas são linearmente dependentes é
k = -6,
e a combinação linear que produz a_{3} a partir de a_{1} e a_{2} é
a_{3} = 4\,a_{1} \;-\;2\,a_{2}\,.

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