- Encontre um exemplo de uma função contínua
definida em um intervalo aberto cuja imagem é um intervalo fechado e limitado.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre um exemplo de uma função contínua f, definida em um intervalo aberto, cuja imagem seja um intervalo fechado e limitado.”
Isso envolve conceitos de:
• função contínua;
• intervalo aberto (domínio);
• imagem (conjunto de valores que f assume);
• intervalo fechado e limitado.
Para resolver a gente vai:
Isso envolve conceitos de:
• função contínua;
• intervalo aberto (domínio);
• imagem (conjunto de valores que f assume);
• intervalo fechado e limitado.
Para resolver a gente vai:
- escolher um domínio que seja um intervalo aberto;
- propor uma função fácil de lidar;
- mostrar que ela é contínua;
- provar que sua imagem é um intervalo fechado e limitado.
Passo 2
Escolhemos o domínio D = ℝ = (−∞,∞), que é um intervalo aberto, e definimos a função
Essa fórmula é simples e vai gerar imagem exatamente
.
Passo 3
Por que f é contínua em ℝ?
- Sabemos que polinômios (como
e ) são contínuos em todo lugar. - O denominador
nunca zera (é sempre ≥1), então não causa “buraco” na função. - Logo, o quociente de duas funções contínuas (com denominador não-zero) também é contínuo.
Portanto f é contínua em todo ℝ.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que todo valor de f está entre −1 e 1.
- Provar
:
e isso é verdade para todo
.
- Provar
:
também sempre verdadeiro.
Logo para todo
.
Logo
Passo 5
Falta ver que os extremos ±1 são mesmo atingidos:
Então a imagem de f é exatamente o intervalo fechado
.
Resposta
Um exemplo é
A função é contínua em ℝ (um intervalo aberto) e sua imagem é o intervalo fechado e limitado
.