1. Encontre um exemplo de uma função contínua f definida em um intervalo aberto cuja imagem é um intervalo fechado e limitado.

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre um exemplo de uma função contínua f, definida em um intervalo aberto, cuja imagem seja um intervalo fechado e limitado.”
Isso envolve conceitos de:
• função contínua;
• intervalo aberto (domínio);
• imagem (conjunto de valores que f assume);
• intervalo fechado e limitado.
Para resolver a gente vai:
  1. escolher um domínio que seja um intervalo aberto;
  2. propor uma função fácil de lidar;
  3. mostrar que ela é contínua;
  4. provar que sua imagem é um intervalo fechado e limitado.

Passo 2

Escolhemos o domínio D = ℝ = (−∞,∞), que é um intervalo aberto, e definimos a função
f(x) ;=;2x1+x^2,
Essa fórmula é simples e vai gerar imagem exatamente [-1,1].

Passo 3

Por que f é contínua em ℝ?
  • Sabemos que polinômios (como 2x e 1 + x^2) são contínuos em todo lugar.
  • O denominador 1 + x^2 nunca zera (é sempre ≥1), então não causa “buraco” na função.
  • Logo, o quociente de duas funções contínuas (com denominador não-zero) também é contínuo.
    Portanto f é contínua em todo ℝ.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que todo valor de f está entre −1 e 1.
  1. Provar f(x)<=1:
2x1+x^2 <= 1 ;Long<=ftrightarrow; 2x <= 1 + x^2 ;Long<=ftrightarrow; x^2 - 2x + 1 >= 0 ;Long<=ftrightarrow; (x-1)^2 >= 0,
e isso é verdade para todo x.
  1. Provar f(x)>= -1:
-2x1+x^2 <= 1 ;Long<=ftrightarrow; -2x <= 1 + x^2 ;Long<=ftrightarrow; x^2 + 2x + 1 >= 0 ;Long<=ftrightarrow; (x+1)^2 >= 0,
também sempre verdadeiro.
Logo -1 <= f(x) <= 1 para todo x.

Passo 5

Falta ver que os extremos ±1 são mesmo atingidos:
f(1) = 2cdot11+1^2 = 1, f(-1) = 2cdot(-1)1+(-1)^2 = -1
Então a imagem de f é exatamente o intervalo fechado [-1,1].

Resposta

Um exemplo é
f:;(-infty,infty);longrightarrow; R, f(x)=2x1+x^2
A função é contínua em ℝ (um intervalo aberto) e sua imagem é o intervalo fechado e limitado [-1,1].

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