Sejam
funções,
tal que todo intervalo aberto contendo
intersecta
. Suponha que
e
sejam contínuas em
e
. Mostre que existe um
tal que, para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que
são contínuas em
, que todo intervalo aberto em torno de
contém pontos de
, e que
Queremos mostrar que existe
tal que, para todo
temos
. Vamos usar a continuidade da função diferença para obter essa vizinhança.
Passo 2
Defina a função
Como soma e diferença de funções contínuas são contínuas,
é contínua em
. Além disso,
Passo 3
Pela continuidade de
em
, existe
tal que, sempre que
vale
Passo 4
Para tais
, temos
Logo
, isto é,
Resposta
Basta tomar
: assim, para todo
temos
, como desejado.