Sejam f, g: D longrightarrow R funções, a in D tal que todo intervalo aberto contendo a intersecta D backslasha. Suponha que f e g sejam contínuas em a e f(a)>g(a). Mostre que existe um r>0 tal que, para todo x in(a-r, a+r) cap D, f(x)>g(x).

Passo 1

O enunciado diz que f,gcolon DtoR são contínuas em ain D, que todo intervalo aberto em torno de a contém pontos de Dsetminusa, e que
f(a)>g(a)
Queremos mostrar que existe r>0 tal que, para todo
xin (a-r,a+r)cap D,
temos f(x)>g(x). Vamos usar a continuidade da função diferença para obter essa vizinhança.

Passo 2

Defina a função
h(x)=f(x)-g(x)
Como soma e diferença de funções contínuas são contínuas, h é contínua em a. Além disso,
h(a)=f(a)-g(a)>0

Passo 3

Pela continuidade de h em a, existe de<a>0 tal que, sempre que
xin De |x-a|<de<a,
vale
|h(x)-h(a)|<h(a)2

Passo 4

Para tais x, temos
h(x)=h(a)+l(h(x)-h(a)r) >h(a)-|h(x)-h(a)| >h(a)-h(a)2 =h(a)2>0
Logo h(x)>0, isto é,
f(x)-g(x)>0 Longrightarrow f(x)>g(x)

Resposta

Basta tomar r=de<a>0: assim, para todo
xin(a-r,a+r)cap D
temos f(x)>g(x), como desejado.

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