Encontre um exemplo de um grupo não cíclico no qual todos os subgrupos próprios são cíclicos.
Passo 1
O enunciado quer um exemplo de um grupo que não seja cíclico, mas tal que todos os seus subgrupos próprios sejam cíclicos. O conteúdo é teoria de grupos finitos: precisamos usar a definição de grupo cíclico, ordem de elemento e estrutura de subgrupos.
Passo 2
Considere o grupo de Klein, também chamado de
, definido por
com adição módulo 2 em cada componente.
Passo 3
Mostramos que
não é cíclico. Num grupo cíclico de ordem 4 deveria existir um elemento de ordem 4. Mas em
todos os elementos não nulos têm ordem
pois por exemplo
e o mesmo vale para
e
. Logo não há elemento de ordem 4 e
não é cíclico.
Passo 4
Agora verificamos que todo subgrupo próprio de
é cíclico. Os subgrupos próprios de
são:
Cada um dos três últimos subgrupos tem ordem 2 e é gerado por um único elemento, logo é cíclico. E o subgrupo trivial
também é considerado cíclico.
Resposta
O grupo de Klein
é um exemplo de grupo não cíclico em que todos os subgrupos próprios são cíclicos.