Encontre um exemplo de um grupo não cíclico no qual todos os subgrupos próprios são cíclicos.

Passo 1

O enunciado quer um exemplo de um grupo que não seja cíclico, mas tal que todos os seus subgrupos próprios sejam cíclicos. O conteúdo é teoria de grupos finitos: precisamos usar a definição de grupo cíclico, ordem de elemento e estrutura de subgrupos.

Passo 2

Considere o grupo de Klein, também chamado de Z2timesZ2, definido por
V4 = (0,0),(1,0),(0,1),(1,1)
com adição módulo 2 em cada componente.

Passo 3

Mostramos que V4 não é cíclico. Num grupo cíclico de ordem 4 deveria existir um elemento de ordem 4. Mas em V4 todos os elementos não nulos têm ordem
2,
pois por exemplo
(1,0)+(1,0)=(0,0),
e o mesmo vale para (0,1) e (1,1). Logo não há elemento de ordem 4 e V4 não é cíclico.

Passo 4

Agora verificamos que todo subgrupo próprio de V4 é cíclico. Os subgrupos próprios de V4 são:
(0,0), lang<=(1,0)rang<=, lang<=(0,1)rang<=, lang<=(1,1)rang<=
Cada um dos três últimos subgrupos tem ordem 2 e é gerado por um único elemento, logo é cíclico. E o subgrupo trivial (0,0) também é considerado cíclico.

Resposta

O grupo de Klein
V4 = Z2timesZ2
é um exemplo de grupo não cíclico em que todos os subgrupos próprios são cíclicos.

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