Seja G um grupo e seja G^prime=lang<= a b a^-1 b^-1rang<=; isto é, G^prime é subgrupo de todos os produtos finitos de elementos em G da forma a b a^-1 b^-1. O subgrupo G^prime é chamado subgrupo comutador de G.
(a) Mostre que G^prime é um subgrupo normal de G.
(b) Seja N um subgrupo normal de G. Prove que G / N é abeliano se, e somente se, N contém o subgrupo comutador de G.

Passo 1

O enunciado define o subgrupo comutador
G'=llang<=,a b a^-1 b^-1mid a,bin Grrang<=,
isto é, o menor subgrupo de G que contém todos os comutadores ,[a,b]=a b a^-1 b^-1.
Conteúdo: teoria de subgrupo normal e quociente abeliano. Vamos usar (i) o fato de que o subgrupo gerado por um conjunto é normal se e só se esse conjunto é estável por conjugação, e (ii) que G/N é abeliano exactly quando todo comutador de G cai em N.

Passo 2

Mostramos que G' é normal em G.
Por definição G'=lang<= Srang<= com
S=,a b a^-1 b^-1mid a,bin G
Para gin G e [a,b]in S, calcule
g,[a,b],g^-1 = g,a b a^-1 b^-1,g^-1 = (gag^-1)(gbg^-1)(gag^-1)^-1(gbg^-1)^-1
Isso é exatamente o comutador
l[gag^-1,,gbg^-1r]in S
Logo S é estável por conjugação e, como G'=lang<= Srang<=, segue que G' é normal em G.

Passo 3

Suponha agora que Ntriang<=<=ft G e que G/N é abeliano.
Então, para quaisquer a,bin G, no quociente vale
aNcdot bN ;=; bNcdot aN
Isto implica
ab,N = ba,N Longrightarrow ab(ba)^-1in N Longrightarrow a b a^-1 b^-1in N
Como todo gerador de G' está em N, concluímos G'subseteq N.

Passo 4

Reciprocamente, suponha G'subseteq N.
Para quaisquer a,bin G, o comutador [a,b]=a b a^-1 b^-1 pertence a G' e, portanto, a N. Logo
ab(ba)^-1in N Longrightarrow ab,N = ba,N forall,a,bin G,
o que significa que aN e bN comutam em G/N. Assim G/N é abeliano.

Resposta

(a) G' é normal em G.
(b) G/N é abeliano se, e somente se, G'subseteq N.

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