Seja
um grupo e seja
; isto é,
é subgrupo de todos os produtos finitos de elementos em
da forma
. O subgrupo
é chamado subgrupo comutador de
.
(a) Mostre que
é um subgrupo normal de
.
(b) Seja
um subgrupo normal de
. Prove que
é abeliano se, e somente se,
contém o subgrupo comutador de
.
(a) Mostre que
(b) Seja
Passo 1
O enunciado define o subgrupo comutador
isto é, o menor subgrupo de
que contém todos os comutadores
.
Conteúdo: teoria de subgrupo normal e quociente abeliano. Vamos usar (i) o fato de que o subgrupo gerado por um conjunto é normal se e só se esse conjunto é estável por conjugação, e (ii) que é abeliano exactly quando todo comutador de
cai em
.
Conteúdo: teoria de subgrupo normal e quociente abeliano. Vamos usar (i) o fato de que o subgrupo gerado por um conjunto é normal se e só se esse conjunto é estável por conjugação, e (ii) que
Passo 2
Mostramos que
é normal em
.
Por definição com
Por definição
Para
e
, calcule
Isso é exatamente o comutador
Logo
é estável por conjugação e, como
, segue que
é normal em
.
Passo 3
Suponha agora que
e que
é abeliano.
Então, para quaisquer , no quociente vale
Então, para quaisquer
Isto implica
Como todo gerador de
está em
, concluímos
.
Passo 4
Reciprocamente, suponha
.
Para quaisquer , o comutador
pertence a
e, portanto, a
. Logo
Para quaisquer
o que significa que
e
comutam em
. Assim
é abeliano.
Resposta
(a)
é normal em
.
(b) é abeliano se, e somente se,
.
(b)