Mostre que se a e b são inteiros positivos então a b=M M C(a, b) cdot M D C(a, b).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a,binZ^+, vale
a,b = MMC(a,b);cdot;MDC(a,b)
O conteúdo envolve as definições de máximo divisor comum ( MDC) e mínimo múltiplo comum ( MMC), além de suas propriedades básicas.

Passo 2

Seja
d = MDC(a,b)
Pela propriedade do maior divisor comum, existem a',b'inZ^+ tais que
a = d,a', b = d,b', MDC(a',b') = 1

Passo 3

Mostramos que
MMC(a,b) = d,a',b'
(1) Como a = d,a' e b = d,b', claramente amid d,a',b' e bmid d,a',b', logo d,a',b' é múltiplo comum de a e b.
(2) Se M é qualquer múltiplo comum de a e b, então a'mid M/d e b'mid M/d. Como MDC(a',b')=1, segue a'b'mid M/d, ou seja, M>= d,a',b'.
Isso mostra que o menor múltiplo comum é mesmo d,a',b'.

Passo 4

Agora basta multiplicar:
MDC(a,b);cdot;MMC(a,b) = d ;cdot;(d,a',b') = d^2,a',b' = (d,a'),(d,b') = a,b

Resposta

a,b = MMC(a,b);cdot;MDC(a,b)

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