Mostre que se
e
são inteiros positivos então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
, vale
O conteúdo envolve as definições de máximo divisor comum (
) e mínimo múltiplo comum (
), além de suas propriedades básicas.
Passo 2
Seja
Pela propriedade do maior divisor comum, existem
tais que
Passo 3
Mostramos que
(1) Como
e
, claramente
e
, logo
é múltiplo comum de
e
.
(2) Se é qualquer múltiplo comum de
e
, então
e
. Como
, segue
, ou seja,
.
Isso mostra que o menor múltiplo comum é mesmo .
(2) Se
Isso mostra que o menor múltiplo comum é mesmo
Passo 4
Agora basta multiplicar: