Mostre que a adição e a multiplicação
são operações bem definidas. Isto é, mostre que as operações não dependem da escolha dos representantes das classes
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas as classes de equivalência módulo
, definidas por
as operações
são bem definidas, ou seja, não dependem da escolha dos representantes
e
.
Passo 2
Lembramos que dizer “a operação está bem definida” significa: se
e
, então devemos ter
E usaríamos a hipótese
e
.
Passo 3
Suponha
e
. Então existem inteiros
tais que
Somando estas igualdades obtém-se
logo
, ou seja
. Isso prova que a adição não depende dos representantes.
Passo 4
Usando as mesmas expressões
e
, multiplicamos:
Assim
, ou seja
. Isso mostra que a multiplicação também não depende dos representantes.
Resposta
Mostramos que
e
implicam
e
. Portanto, as operações de adição e multiplicação módulo
são bem definidas.