Mostre que a adição e a multiplicação bmod n são operações bem definidas. Isto é, mostre que as operações não dependem da escolha dos representantes das classes bmod n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas as classes de equivalência módulo n, definidas por
[a]=a+knmid kinZ,
as operações
[a]+[b]:=[a+b], [a]cdot[b]:=[a,b]
são bem definidas, ou seja, não dependem da escolha dos representantes a e b.

Passo 2

Lembramos que dizer “a operação está bem definida” significa: se [a]=[a'] e [b]=[b'], então devemos ter
[a+b]=[a'+b'] e [a,b]=[a',b']
E usaríamos a hipótese aequiv a'pmod n e bequiv b'pmod n.

Passo 3

Suponha aequiv a'pmod n e bequiv b'pmod n. Então existem inteiros k,ell tais que
a=a'+k,n, b=b'+ell,n
Somando estas igualdades obtém-se
a+b = (a'+b') + (k+ell),n,
logo a+bequiv a'+b'pmod n, ou seja [a+b]=[a'+b']. Isso prova que a adição não depende dos representantes.

Passo 4

Usando as mesmas expressões a=a'+kn e b=b'+ell n, multiplicamos:
a,b = (a'+k,n)(b'+ell,n) = a',b' + nl(k,b' + ell,a' + k,ell,nr)
Assim a,bequiv a',b'pmod n, ou seja [a,b]=[a',b']. Isso mostra que a multiplicação também não depende dos representantes.

Resposta

Mostramos que [a]=[a'] e [b]=[b'] implicam [a+b]=[a'+b'] e [a,b]=[a',b']. Portanto, as operações de adição e multiplicação módulo n são bem definidas.

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