Seja
G=(c cos (theta) sin (theta) cos (theta) )
onde theta in R. Prove que G é um subgrupo de SL2(R).

Passo 1

O enunciado define
G = l,g(theta) = cos(theta) & -sin(theta) sin(theta) & cos(theta) ;m|;thetainRr
e pede para mostrar que G é um subgrupo de SL2(R).
Conteúdo: teoria de grupos e subgrupos, em especial verificação de que cada elemento está em SL2(R) (determinante 1) e que G é fechado, contém o neutro e inversos.

Passo 2

Mostramos primeiro que todo g(theta) tem determinante igual a 1, logo g(theta)inSL2(R).
detl(g(theta)r) = det! cos(theta) & -sin(theta) sin(theta) & cos(theta) = cos^2(theta)+sin^2(theta) =1

Passo 3

Verificamos o elemento neutro de G. Basta tomar theta=0:
g(0)= cos(0)&-sin(0) sin(0)&cos(0) =1&00&1=I2
Logo I2in G.

Passo 4

Mostramos fechamento: para quaisquer theta1,theta2inR, calcule
g(theta1),g(theta2) = costheta1 & -sintheta1 sintheta1 & costheta1 costheta2 & -sintheta2 sintheta2 & costheta2
Multiplicando, usando identidades trigonométricas, obtém-se
g(theta1),g(theta2) = cos(theta1+theta2)&-sin(theta1+theta2) sin(theta1+theta2)&cos(theta1+theta2) = g(theta1+theta2)in G

Passo 5

Finalmente, todo elemento g(theta) tem inverso em G: basta notar que
g(theta)^-1 = costheta & -sintheta sintheta & costheta ^-1 = costheta & sintheta -,sintheta & costheta = cos(-theta)&-sin(-theta) sin(-theta)&cos(-theta) = g(-theta)in G

Resposta

Assim, GsubsetSL2(R) e satisfaz fechamento, elemento neutro e inversos, ou seja, G é subgrupo de SL2(R).

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