Encontre exemplos, se existam, de operadores
lineares tais que
(3)
seja injetora e tal que o polinômio minimal de
tenha grau 1.
(3)
Passo 1
O enunciado pede um operador linear F: V → V que seja injetor e cujo polinômio minimal m_F tenha grau 1.
Passo 2
Lembrando que o polinômio minimal m_F é o polinômio mónico de menor grau tal que m_F(F) = 0. Se deg(m_F) = 1, então existe a escalar a em K com
e satisfazendo m_F(F)=F - aI = 0, ou seja,
Passo 3
Para F = aI ser injetora, seu núcleo deve ser trivial. Como
$$
\
$$
precisamos de a ≠ 0.
precisamos de a ≠ 0.
Passo 4
Assim, qualquer operador da forma F(v) = a v com a ≠ 0 serve de exemplo. Em particular, no mesmo V podemos escolher
F = I (identidade) ou F(v) = 2v.
F = I (identidade) ou F(v) = 2v.
Passo 5
Esses F são injetores e têm polinômio minimal m_F(x) = x - 1 ou m_F(x) = x - 2, ambos de grau 1.
Resposta
Por exemplo, no espaço V, o operador identidade F(v)=v tem m_F(x)=x-1 e é injetor. De modo geral, qualquer F(v)=a v com a≠0 satisfaz as condições.