Encontre exemplos, se existam, de operadores F: V V lineares tais que
(3) F seja injetora e tal que o polinômio minimal de F tenha grau 1.

Passo 1

O enunciado pede um operador linear F: V → V que seja injetor e cujo polinômio minimal m_F tenha grau 1.

Passo 2

Lembrando que o polinômio minimal m_F é o polinômio mónico de menor grau tal que m_F(F) = 0. Se deg(m_F) = 1, então existe a escalar a em K com
mF(x) = x - a
e satisfazendo m_F(F)=F - aI = 0, ou seja,
F = aI

Passo 3

Para F = aI ser injetora, seu núcleo deve ser trivial. Como
$$
\
$$
precisamos de a ≠ 0.

Passo 4

Assim, qualquer operador da forma F(v) = a v com a ≠ 0 serve de exemplo. Em particular, no mesmo V podemos escolher
F = I (identidade) ou F(v) = 2v.

Passo 5

Esses F são injetores e têm polinômio minimal m_F(x) = x - 1 ou m_F(x) = x - 2, ambos de grau 1.

Resposta

Por exemplo, no espaço V, o operador identidade F(v)=v tem m_F(x)=x-1 e é injetor. De modo geral, qualquer F(v)=a v com a≠0 satisfaz as condições.

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