Obtenha a equação reduzida e a excentricidade da hipérbole cujo centro é a origem ( 0,0 ) e cujos focos estão nos eixos coordenados nos seguintes casos:
Os vértices são
e as assíntotas são
.
Os vértices são
Passo 1
O enunciado pede a equação reduzida e a excentricidade de uma hipérbole centrada na origem, com focos nos eixos, vértices em (±15,0) e assíntotas y=±4x/5. O conteúdo aqui envolve a forma padrão de hipérbole, relação entre a e b pelas assíntotas e cálculo de c e da excentricidade.
Passo 2
Como os vértices são (±15,0), a hipérbole tem eixo transverso ao longo de x e parâmetro a=15. Assim, a forma reduzida geral é $$ \frac{x2}{a2} - \frac{y2}{b2} = 1. $$
Passo 3
As assíntotas de uma hipérbole horizontal são dadas por y=±(b/a)x. Como aqui y=±4x/5, temos b/a=4/5, logo b= a·(4/5)=15·(4/5)=12.
Passo 4
Substituindo a=15 e b=12 na forma reduzida, obtemos: $$ \frac{x2}{152} - \frac{y2}{122} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{225} - \frac{y^2}{144} = 1. $$
Passo 5
Para a excentricidade, usamos c2=a2+b^2=225+144=369, logo c=\sqrt{369}=3\sqrt{41}. A excentricidade é e=c/a=(3\sqrt{41})/15=\sqrt{41}/5.
Resposta
A equação reduzida é
[ \frac{x^2}{225} - \frac{y^2}{144} = 1 ]
e a excentricidade é $ e = \frac{\sqrt{41}}{5} $.