Seja um operador linear com polinômio minimal . Mostre que é diagonalizável. Ache a matriz de em uma base arbitrária de .
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador linear F: V → V cujo polinômio minimal é m_F(x)=x−λ. O conteúdo aqui é diagonalização de operadores via polinomial minimal e representação matricial em base qualquer.
Passo 2
Pelo teorema de Cayley–Hamilton e definição de polinômio minimal, temos que m_F(F)=0. Como m_F(x)=x−λ, isso dá F−λ·id=0, ou seja,
Passo 3
Isso mostra que todo vetor v≠0 é autovetor de F, com autovalor λ. Logo a multiplicidade geométrica de λ é dim(V), e o operador é diagonalizável (basta escolher qualquer base — todos os vetores já são autovetores).
Passo 4
Em uma base arbitrária B={v_1,\dots,v_n}, temos F(v_j)=λv_j. Na representação matricial, a j-ésima coluna é o vetor de coordenadas de F(v_j), isto é, λ·e_j. Portanto a matriz de F em B é