Seja F: V V um operador linear com polinômio minimal x-lambda com lambda in K. Mostre que F é diagonalizável. Ache a matriz de F em uma base arbitrária de V.

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear F: V → V cujo polinômio minimal é m_F(x)=x−λ. O conteúdo aqui é diagonalização de operadores via polinomial minimal e representação matricial em base qualquer.

Passo 2

Pelo teorema de Cayley–Hamilton e definição de polinômio minimal, temos que m_F(F)=0. Como m_F(x)=x−λ, isso dá F−λ·id=0, ou seja,
F(v)=λ,vpara todo vin V

Passo 3

Isso mostra que todo vetor v≠0 é autovetor de F, com autovalor λ. Logo a multiplicidade geométrica de λ é dim(V), e o operador é diagonalizável (basta escolher qualquer base — todos os vetores já são autovetores).

Passo 4

Em uma base arbitrária B={v_1,\dots,v_n}, temos F(v_j)=λv_j. Na representação matricial, a j-ésima coluna é o vetor de coordenadas de F(v_j), isto é, λ·e_j. Portanto a matriz de F em B é
[F]B=lambda In= lambda &0&cdots&0 0&lambda&cdots&0 vdots&vdots&ddots&vdots 0&0&cdots&lambda

Resposta

A matriz de F em qualquer base de V é lambda In.

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