Obtenha a equação reduzida e a excentricidade da hipérbole cujo centro é a origem ( 0,0 ) e cujos focos estão nos eixos coordenados nos seguintes casos:
Os focos estão no eixo
, as assíntotas têm equações
e o eixo conjugado mede 8.
Os focos estão no eixo
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: temos uma hipérbole centrada na origem, com focos no eixo y, assíntotas dadas por y=±(3/2)x e eixo conjugado de comprimento 8. O objetivo é achar a equação reduzida dessa hipérbole e sua excentricidade. Vamos usar a forma canônica da hipérbole vertical, a relação entre a, b e c e a fórmula das assíntotas.
Passo 2
Determinação de a e b: como os focos estão no eixo y, a hipérbole é vertical e sua forma reduzida é
. O comprimento do eixo conjugado é 2b=8, logo
. As assíntotas têm inclinação
, portanto
Passo 3
Equação da hipérbole: substituindo
e
na forma canônica,
Passo 4
Cálculo da excentricidade: primeiro calculamos
. Em seguida
Resposta
A equação reduzida é
e a excentricidade vale
.