Obtenha a equação reduzida e a excentricidade da hipérbole cujo centro é a origem ( 0,0 ) e cujos focos estão nos eixos coordenados nos seguintes casos:
Os focos estão no eixo y, as assíntotas têm equações y= pm 3 x / 2 e o eixo conjugado mede 8.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos uma hipérbole centrada na origem, com focos no eixo y, assíntotas dadas por y=±(3/2)x e eixo conjugado de comprimento 8. O objetivo é achar a equação reduzida dessa hipérbole e sua excentricidade. Vamos usar a forma canônica da hipérbole vertical, a relação entre a, b e c e a fórmula das assíntotas.

Passo 2

Determinação de a e b: como os focos estão no eixo y, a hipérbole é vertical e sua forma reduzida é y^2a^2-x^2b^2=1. O comprimento do eixo conjugado é 2b=8, logo b=4. As assíntotas têm inclinação pmab=pm32, portanto
a4=32Rightarrow a=6

Passo 3

Equação da hipérbole: substituindo a=6 e b=4 na forma canônica,
y^236-x^216=1,

Passo 4

Cálculo da excentricidade: primeiro calculamos c=raiza^2+b^2=raiz6^2+4^2=raiz36+16=raiz52=2raiz13. Em seguida
e=ca=2raiz136=raiz133

Resposta

A equação reduzida é y^236-x^216=1 e a excentricidade vale e=raiz133.

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