Guestão 9. Obtenha a expansão em série de Taylor de cada uma das funções abaixo na região indicada:
para
;
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
centrada em
, válida para todo
(raio de convergência infinito). O conteúdo aqui é Série de Taylor para funções analíticas, e vamos precisar da fórmula geral envolvendo as derivadas de
em
.
Passo 2
A fórmula geral da série de Taylor de
em torno de
é:
ou seja, precisamos encontrar
para todo
.
Passo 3
Como
é especial, todas as suas derivadas são iguais a si mesma:
para todo
.
Passo 4
Substituindo
na fórmula da série, obtemos:
Podemos ainda fatorar o
para simplificar a escrita.
Passo 5
Observando que
, concluímos a forma fechada da expansão centrada em
: