Guestão 9. Obtenha a expansão em série de Taylor de cada uma das funções abaixo na região indicada:
f(z)=e^z para |z-1|;

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(z)=e^z centrada em z0=1, válida para todo z (raio de convergência infinito). O conteúdo aqui é Série de Taylor para funções analíticas, e vamos precisar da fórmula geral envolvendo as derivadas de f em z0.

Passo 2

A fórmula geral da série de Taylor de f(z) em torno de z0=1 é:
f(z)=sumn=0^infty f^(n)(1)n!,(z-1)^n
ou seja, precisamos encontrar f^(n)(1) para todo n.

Passo 3

Como f(z)=e^z é especial, todas as suas derivadas são iguais a si mesma:
f^(n)(z)=e^z Rightarrow f^(n)(1)=e^1=e
para todo n>=0.

Passo 4

Substituindo f^(n)(1)=e na fórmula da série, obtemos:
f(z)=sumn=0^infty en!,(z-1)^n
Podemos ainda fatorar o e para simplificar a escrita.

Passo 5

Observando que sumn=0^infty (z-1)^nn!=e^z-1, concluímos a forma fechada da expansão centrada em 1:
e^z = e,e^z-1 = e sumn=0^infty (z-1)^nn!

Resposta

e^z = e sumn=0^infty (z-1)^nn!, para todo z.

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