Encontre, se existir, a derivada das seguintes funções:
f(x)=[x] sen^2(pi x), x in R, onde [x] é a parte inteira de x. Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),…:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função f(x) = [x] cdot sin^2(pi x) , onde [x] representa a parte inteira de x. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de funções que envolvem partes inteiras e funções trigonométricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função [x]. A parte inteira de x é uma função que pega o maior número inteiro menor ou igual a x. Por exemplo, [3.7] = 3 e [-1.2] = -2. Essa função é constante em cada intervalo entre dois inteiros, mas tem descontinuidades nos pontos inteiros.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função sin^2(pi x). Sabemos que a derivada de sin(u) é cos(u) cdot u', então para sin^2(u), usamos a regra da cadeia: a derivada é 2 sin(u) cos(u) cdot u'.

Passo 4

Vamos aplicar a regra do produto para derivar f(x) = [x] cdot sin^2(pi x) . A regra do produto diz que (uv)' = u'v + uv'. Aqui, u = [x] e v = sin^2(pi x).

Passo 5

Vamos calcular u' e v':
  • u' = ddx[x]: A derivada da parte inteira de x é zero em todos os lugares onde x não é inteiro, porque [x] é constante nesses intervalos.
  • v' = ddx sin^2(pi x): Como mencionado, isso é 2 sin(pi x) cos(pi x) cdot pi = pi sin(2pi x) usando a identidade trigonométrica sin(2theta) = 2sin(theta)cos(theta).

Passo 6

Agora, aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'v + uv' = 0 cdot sin^2(pi x) + [x] cdot pi sin(2pi x) = [x] cdot pi sin(2pi x)

Passo 7

É importante notar que [x] não é diferenciável nos pontos inteiros, pois tem descontinuidades ali. Portanto, a derivada f'(x) existe para todo x real que não seja inteiro.

Resposta

A derivada de f(x) = [x] cdot sin^2(pi x) é:
f'(x) = [x] cdot pi sin(2pi x) & para x notin Z, não existe & para x in Z ã

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