Encontre, se existir, a derivada das seguintes funções:
, onde
é a parte inteira de
. Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),…:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
, onde
representa a parte inteira de
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de funções que envolvem partes inteiras e funções trigonométricas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. A parte inteira de
é uma função que pega o maior número inteiro menor ou igual a
. Por exemplo,
e
. Essa função é constante em cada intervalo entre dois inteiros, mas tem descontinuidades nos pontos inteiros.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Sabemos que a derivada de
é
, então para
, usamos a regra da cadeia: a derivada é
.
Passo 4
Vamos aplicar a regra do produto para derivar
. A regra do produto diz que
. Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos calcular
e
:
-
: A derivada da parte inteira de é zero em todos os lugares onde não é inteiro, porque é constante nesses intervalos. -
: Como mencionado, isso é usando a identidade trigonométrica .
Passo 6
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 7
É importante notar que
não é diferenciável nos pontos inteiros, pois tem descontinuidades ali. Portanto, a derivada
existe para todo
real que não seja inteiro.
Resposta
A derivada de
é: