Use LU(t-a)=e^-a s / s to find LF(t) where F(t)=lre^-t & 0<t<3 0 & t>3

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
F(t)= e^-t,&0<t<3, 0,&t>3,
ou seja, F(t)=e^-t até t=3 e zero depois. O conteúdo aqui é representação com a função degrau U(t-a) e aplicação do teorema do deslocamento no eixo t. Vamos também usar
LU(t-a)=e^-a ss
e a definição
Lf(t)=integral0^inftyf(t)e^-stdt

Passo 2

Escrevemos F(t) usando degraus:
F(t)=e^-t,U(t);-;e^-t,U(t-3)

Passo 3

Calculamos a transformada do primeiro termo por definição:
Le^-t,U(t) =integral0^inftye^-te^-stdt =integral0^inftye^-(s+1)tdt =1s+1

Passo 4

Para o segundo termo notamos que, para t>=3,
e^-t=e^-3,e^-(t-3),
então
e^-t,U(t-3) =e^-3,e^-(t-3),U(t-3)
Pelo teorema do deslocamento, sua transformada é
Le^-(t-3)U(t-3) =e^-3s,1s+1,
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Le^-t,U(t-3) =e^-3,e^-3s,1s+1

Passo 5

Subtraindo os dois resultados, obtemos
LF(t) =1s+1 -e^-3e^-3ss+1 =1-e^-3(s+1)s+1

Resposta

boxedLF(t)=1-e^-3(s+1)s+1

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