Show that in terms of Heavisides unit step function, the function F(t)=lre^-t & 0<t<3 0 & t>3 can be written as e^-t1-U(t-3).

Passo 1

O enunciado define a função
F(t)= e^-t, & 0<t<3, 0, & t>3,
e pede que a escrevamos usando a função degrau de Heaviside U(t). O conteúdo é a representação de funções em parte por meio de U(t-a).

Passo 2

Lembrando a definição da unidade de Heaviside deslocada:
U(t-3)= 0, & t<3, 1, & t>3
Para t>0 temos U(t)=1. Então a expressão
e^-tl[U(t)-U(t-3)r]
vale e^-t quando 0<t<3 (pois aí U(t)=1 e U(t-3)=0) e vale 0 quando t>3 (pois aí U(t-3)=1).

Passo 3

Como para t>0 temos U(t)=1, podemos simplificar
U(t)-U(t-3) =1-U(t-3)
Logo a proposta vira
F(t)=e^-tl[1-U(t-3)r]

Passo 4

Verificação final por partes:
  • Se 0<t<3, então U(t-3)=0 e F(t)=e^-t(1-0)=e^-t.
  • Se t>3, então U(t-3)=1 e F(t)=e^-t(1-1)=0.
Portanto a forma buscada está confirmada.

Resposta

F(t)=e^-t1-U(t-3)

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