Encontre, se existir, a derivada das seguintes funções:
f(x)=(x-[x]) sen^2(pi x), x in R, onde [x] é a parte inteira de x. Solução de Nome undersetGamma( matricula), Nome (matricula), :

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função f(x) = (x - [x]) sin^2(pi x) , onde [x] representa a parte inteira de x e x é um número real. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas de funções compostas e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = (x - [x]) sin^2(pi x) . Aqui, x - [x] representa a parte fracionária de x, ou seja, a parte decimal quando x não é um número inteiro. A função sin^2(pi x) é o seno de pi x ao quadrado.

Passo 3

Para encontrar a derivada de f(x) , vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é dada por:
(uv)' = u'v + uv'
Onde u = x - [x] e v = sin^2(pi x) .

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de u = x - [x] . A parte inteira [x] é uma função que dá o maior número inteiro menor ou igual a x. A derivada de x é 1, e a derivada de [x] é 0 em todos os pontos onde x não é inteiro, porque [x] é constante entre inteiros. Portanto:
u' = ddx(x - [x]) = 1 - 0 = 1

Passo 5

Agora, vamos derivar v = sin^2(pi x) . Para isso, usamos a regra da cadeia. Primeiro, reescrevemos v como (sin(pi x))^2 . A derivada de sin^2(u) em relação a u é 2sin(u)cos(u) .
Então:
v' = ddx(sin^2(pi x)) = 2sin(pi x)cos(pi x) cdot pi = pi sin(2pi x)
(Usamos a identidade sin(2u) = 2sin(u)cos(u) para simplificar.)

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'v + uv' = 1 cdot sin^2(pi x) + (x - [x]) cdot pi sin(2pi x)
Simplificando:
f'(x) = sin^2(pi x) + pi (x - [x]) sin(2pi x)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = sin^2(pi x) + pi (x - [x]) sin(2pi x)

Exercícios relacionados