Encontre, se existir, a derivada das seguintes funções:
, onde
é a parte inteira de
. Solução de Nome
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
, onde
representa a parte inteira de
e
é um número real. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas de funções compostas e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Aqui,
representa a parte fracionária de
, ou seja, a parte decimal quando
não é um número inteiro. A função
é o seno de
ao quadrado.
Passo 3
Para encontrar a derivada de
, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é dada por:
Onde
e
.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada de
. A parte inteira
é uma função que dá o maior número inteiro menor ou igual a
. A derivada de
é 1, e a derivada de
é 0 em todos os pontos onde
não é inteiro, porque
é constante entre inteiros. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Primeiro, reescrevemos
como
. A derivada de
em relação a
é
.
Então:
Então:
(Usamos a identidade
para simplificar.)
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Resposta
A derivada da função é: