Show that F(t)=rrF1(t) & 0<t<a F2(t) & t>a can be written as F(t)=F1(t)+F2(t)-F1(t) u(t-a).

Passo 1

O enunciado dá uma função definida em dois ramos,
F(t)= F1(t),&0<t<a, F2(t),&t>a,
e pede para reescrevê-la em termos da função degrau unitário u(t-a). Vamos usar que u(t-a)=0 para t<a e u(t-a)=1 para t>a.

Passo 2

Considere a expressão
G(t)=F1(t)+l[F2(t)-F1(t)r],u(t-a)
Mostramos que G(t) coincide com F(t) em cada região.

Passo 3

Para 0<t<a temos u(t-a)=0. Então
G(t)=F1(t)+l[F2(t)-F1(t)r]cdot 0 =F1(t),
que é exatamente o ramo de F(t) para 0<t<a.

Passo 4

Para t>a temos u(t-a)=1. Então
G(t)=F1(t)+l[F2(t)-F1(t)r]cdot 1 =F1(t)+F2(t)-F1(t) =F2(t),
que coincide com o ramo de F(t) para t>a.

Resposta

F(t)=F1(t)+l[F2(t)-F1(t)r],u(t-a)

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