Encontre, se existir, a derivada das seguintes funções:
f(x)=arccos 1|x|,|x|>1. Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :「

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função f(x) = arccos ( 1|x| ) onde |x| > 1 . Isso envolve conceitos de derivadas, funções compostas e o uso da regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar funções como arccos e também como lidar com o valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função arccos(u) em relação a u é:
ddu arccos(u) = -1raiz1 - u^2
Aqui, u é uma função de x , então vamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

No nosso caso, u = 1|x| . Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x :
dudx = ddx ( 1|x| )
Lembrando que a derivada de |x| é x|x| , a gente pode reescrever 1|x| como |x|^-1 e usar a regra do poder.

Passo 4

Aplicando a regra do poder:
ddx |x|^-1 = -1 cdot |x|^-2 cdot ddx |x| = -1|x|^2 cdot x|x|
Simplificando isso, temos:
dudx = -x|x|^3 = -x|x|^3

Passo 5

Agora, voltamos à derivada da função f(x) usando a regra da cadeia:
f'(x) = ddu arccos(u) cdot dudx = -1raiz1 - u^2 cdot ( -x|x|^3 )
Os sinais negativos se cancelam, então:
f'(x) = 1raiz1 - u^2 cdot x|x|^3

Passo 6

Substituindo u = 1|x| na expressão:
f'(x) = 1raiz1 - ( 1|x| )^2 cdot x|x|^3 = 1raiz1 - 1x^2 cdot x|x|^3
Simplificando dentro da raiz:
raiz1 - 1x^2 = raizx^2 - 1x^2 = raizx^2 - 1|x|

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de f'(x) :
f'(x) = 1raizx^2 - 1|x| cdot x|x|^3 = |x|raizx^2 - 1 cdot x|x|^3 = x|x|^2 raizx^2 - 1
Sabendo que |x|^2 = x^2 , temos:
f'(x) = xx^2 raizx^2 - 1 = 1x raizx^2 - 1

Resposta

A derivada de f(x) = arccos ( 1|x| ) é:
f'(x) = 1x raizx^2 - 1

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