Encontre, se existir, a derivada das seguintes funções:
. Solução de Nome (matricula), Nome (matricula), …:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
, onde
pertence aos números reais (
). Vamos usar conceitos de derivação e funções de valor absoluto para chegar à resposta. Precisamos saber como derivar funções que envolvem raízes e valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. O valor absoluto
garante que a entrada da raiz quadrada seja sempre não negativa, já que não podemos tirar raiz de número negativo no conjunto dos números reais.
Passo 3
Para derivar
, podemos reescrever a função usando expoentes:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usaremos a regra da potência combinada com a derivada da função valor absoluto. A derivada de
é:
para
.
Passo 5
Aplicando a regra da potência:
Simplificando:
Passo 6
Observando
, percebemos que:
- Para
, - Para
,
Portanto, a derivada fica:
onde
é a função sinal.
Passo 7
Agora, precisamos verificar se a derivada existe em
. Calculamos os limites laterais:
Como os limites laterais são diferentes e tendem para infinito, a derivada não existe em
.
Resposta
A derivada da função [f(x) = \sqrt{|x|}) é dada por:
Além disso, a derivada não existe em (x = 0].