Encontre, se existir, a derivada das seguintes funções:
f(x)=raiz|x|, x in R. Solução de Nome (matricula), Nome (matricula), …:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função f(x) = raiz|x| , onde x pertence aos números reais ( R ). Vamos usar conceitos de derivação e funções de valor absoluto para chegar à resposta. Precisamos saber como derivar funções que envolvem raízes e valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = raiz|x| . O valor absoluto |x| garante que a entrada da raiz quadrada seja sempre não negativa, já que não podemos tirar raiz de número negativo no conjunto dos números reais.

Passo 3

Para derivar f(x) = raiz|x| , podemos reescrever a função usando expoentes:
f(x) = |x|^1/2

Passo 4

Agora, vamos derivar f(x) em relação a x . Usaremos a regra da potência combinada com a derivada da função valor absoluto. A derivada de |x| é:
ddx |x| = x|x|
para x neq 0 .

Passo 5

Aplicando a regra da potência:
ddx |x|^1/2 = 12 |x|^-1/2 cdot x|x|
Simplificando:
f'(x) = 12 cdot x|x| cdot 1raiz|x| = 12 raiz|x| cdot x|x|

Passo 6

Observando x|x| , percebemos que:
  • Para x > 0 , x|x| = 1
  • Para x < 0 , x|x| = -1
Portanto, a derivada fica:
f'(x) = 12 raiz|x| cdot sgn(x)
onde sgn(x) é a função sinal.

Passo 7

Agora, precisamos verificar se a derivada existe em x = 0 . Calculamos os limites laterais:
limx to 0^+ f'(x) = limx to 0^+ 12 raizx = +infty
limx to 0^- f'(x) = limx to 0^- -12 raiz-x = -infty
Como os limites laterais são diferentes e tendem para infinito, a derivada não existe em x = 0 .

Resposta

A derivada da função [f(x) = \sqrt{|x|}) é dada por:
Além disso, a derivada não existe em (x = 0].

Exercícios relacionados