Encontre, se existir, a intersecção das retas
x+5 y=10 \mathrm{e}-2 x+y=2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, se existir, a intersecção das retas dadas pelas duas equações. As informações fornecidas são as duas equações lineares:
x + 5y = 10
-2x + y = 2
O que se quer é o(s) ponto(s) (x,y) que satisfaçam simultaneamente ambas as equações.

Passo 2

Entendendo o que significa “intersecção”: a intersecção de duas retas no plano é o ponto cujas coordenadas (x,y)\) tornam verdadeiras as duas equações ao mesmo tempo. Em linguagem de sistemas, precisamos resolver o sistema \[\begin{cases} x + 5y = 10,\\[4pt] -2x + y = 2. \end{cases}
Aqui x\] é a coordenada horizontal e \(y é a coordenada vertical do ponto procurado.]

Passo 3

Escolhendo um método prático: vou usar o método da eliminação (também chamado de combinação linear). A ideia é multiplicar uma das equações por um número de modo que, ao somar ou subtrair as equações, uma das incógnitas desapareça e sobre apenas uma equação com uma incógnita.

Passo 4

Observando as equações, as duas têm coeficiente 5 ou -2 para y e x. Uma estratégia simples é eliminar y fazendo com que ambos os termos em y fiquem iguais. Multiplico a segunda equação por 5 para obter coeficiente 5 em y:
5\cdot(-2x + y) = 5\cdot 2
Isso gera a equação escalada
-10x + 5y = 10.

Passo 5

Agora comparo a equação escalada com a primeira. Reescrevendo as duas:
-10x + 5y = 10
\phantom{-}x + 5y = 10
Se eu subtrair a segunda linha da primeira (ou seja, fazer ({-10x+5y}) - (x+5y)), o termo em 5y cancela:
(-10x + 5y) - (x + 5y) = 10 - 10.
No lado esquerdo os 5y se anulam, restando
-11x = 0.

Passo 6

Resolvo a equação obtida para x:
-11x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0.
Então a coordenada x do ponto de intersecção é 0.

Passo 7

Com x=0, substituo numa das equações originais para achar y. Uso a primeira equação porque é simples:
x + 5y = 10 \quad\Rightarrow\quad 0 + 5y = 10.
Assim
5y = 10 \quad\Rightarrow\quad y = 2.

Passo 8

Verificação rápida (sempre boa prática): substituo (x,y)=(0,2) na segunda equação:
-2x + y = -2\cdot 0 + 2 = 2,
que coincide com o lado direito. Portanto o par (0,2) satisfaz ambas as equações.

Resposta

(0,2)

Exercícios relacionados