Encontre, se existir, a inversa das matrizes abaixo.
D=[rrr1 & -1 & 2 2 & 1 & -4 -1 & 0 & 1].

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a matriz inversa da matriz D , se ela existir. A matriz inversa é aquela que, quando multiplicada pela matriz original, dá a matriz identidade. Vamos precisar saber calcular determinantes e como encontrar a inversa de uma matriz 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz D . O determinante nos ajuda a saber se a matriz tem inversa. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe. A matriz D é:
D = 1 & -1 & 2 2 & 1 & -4 -1 & 0 & 1
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
|D| = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Onde:
D = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando os valores de D :
|D| = 1(1 cdot 1 - (-4) cdot 0) - (-1)(2 cdot 1 - (-4) cdot -1) + 2(2 cdot 0 - 1 cdot -1)
|D| = 1(1 - 0) - (-1)(2 - 4) + 2(0 + 1)
|D| = 1(1) - (-1)(-2) + 2(1)
|D| = 1 - 2 + 2 = 1

Passo 3

Como o determinante |D| é 1, que é diferente de zero, sabemos que a inversa da matriz D existe. Agora vamos encontrar essa inversa.

Passo 4

Para encontrar a inversa de D , vamos usar a fórmula:
D^-1 = 1|D| cdot Adj(D)
Já que |D| = 1 , a inversa será simplesmente a adjunta de D . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de D .
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores:
Cof(D) = C11 & C12 & C13 C21 & C22 & C23 C31 & C32 & C33
Onde cada cofator Cij é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
E Mij é o menor principal, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
  • C11 = (+1) cdot 1 & -4 0 & 1 = (1)(1) - (-4)(0) = 1
  • C12 = (-1) cdot 2 & -4 -1 & 1 = -[(2)(1) - (-4)(-1)] = -(2 - 4) = 2
  • C13 = (+1) cdot 2 & 1 -1 & 0 = (2)(0) - (1)(-1) = 0 + 1 = 1
  • C21 = (-1) cdot -1 & 2 0 & 1 = -[(-1)(1) - (2)(0)] = -(-1 - 0) = 1
  • C22 = (+1) cdot 1 & 2 -1 & 1 = (1)(1) - (2)(-1) = 1 + 2 = 3
  • C23 = (-1) cdot 1 & -1 -1 & 0 = -[(1)(0) - (-1)(-1)] = -(0 - 1) = 1
  • C31 = (+1) cdot -1 & 2 1 & -4 = (-1)(-4) - (2)(1) = 4 - 2 = 2
  • C32 = (-1) cdot 1 & 2 2 & -4 = -[(1)(-4) - (2)(2)] = -(-4 - 4) = 8
  • C33 = (+1) cdot 1 & -1 2 & 1 = (1)(1) - (-1)(2) = 1 + 2 = 3
Assim, a matriz dos cofatores é:
Cof(D) = 1 & 2 & 1 1 & 3 & 1 2 & 8 & 3
Agora, tiramos a transposta dessa matriz para obter a adjunta:
Adj(D) = 1 & 1 & 2 2 & 3 & 8 1 & 1 & 3

Passo 5

Finalmente, usamos a fórmula da inversa:
D^-1 = 1|D| cdot Adj(D) = 1 cdot Adj(D) = Adj(D)
Portanto, a inversa da matriz D é:
D^-1 = 1 & 1 & 2 2 & 3 & 8 1 & 1 & 3

Resposta

A inversa da matriz D é:
D^-1 = 1 & 1 & 2 2 & 3 & 8 1 & 1 & 3

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