Encontre, se existir, a inversa das matrizes abaixo.
(e) A=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 0 & 0 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 0\\\\ 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo é inversão de matriz. Em vez de fazer Gauss–Jordan completo, vamos observar que resolver A x = y para x nos dá diretamente A^{-1}.

Passo 2

Sejam x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} e y=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})^{T}. Da multiplicação A x = y obtemos o sistema
\begin{cases} y_{1} = x_{3},\\\ y_{2} = x_{1},\\\ y_{3} = x_{2} + 2\,x_{3},\\\ y_{4} = 3\,x_{1} + x_{4}. \end{cases}

Passo 3

Agora isolamos cada componente de x em função de y:
x_{1} = y_{2},\quad x_{3} = y_{1},\quad x_{2} = y_{3} - 2\,y_{1},\quad x_{4} = y_{4} - 3\,y_{2}.

Passo 4

Como x = A^{-1}y, as componentes acima nos dão as colunas de A^{-1}. Assim
A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\\\ -2 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\\\ -2 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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