Escreva os seguintes números complexos na forma trigonométrica:
(e) -\sqrt{3}+i

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo z = -\sqrt{3} + i na forma trigonométrica
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr).
Para isso, precisamos calcular o módulo r e o argumento \theta.

Passo 2

O módulo é dado por
r = |z| = \sqrt{\bigl(-\sqrt{3}\bigr)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = 2.

Passo 3

O argumento satisfaz
\tan\theta = \frac{\Im(z)}{\Re(z)} = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.
Como \Re(z)=-\sqrt{3}<0 e \Im(z)=1>0, estamos no segundo quadrante. A referência é \pi/6, então
\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.

Passo 4

Substituindo r=2 e \theta = 5\pi/6 na forma trigonométrica, obtemos
z = 2\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr) + i\sin\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr)\Bigr).

Resposta

2\bigl(\cos(\tfrac{5\pi}{6}) + i\sin(\tfrac{5\pi}{6})\bigr)

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