Sejam A e B matrizes n \times n e seja C=A-B. Mostre que se A x_{0}=B x_{0} e x_{0} \neq 0, então C deve ser singular (não possui inversa).

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes quadradas A e B de ordem n e define C = A - B. Ele nos diz que existe um vetor x_{0}\neq 0 tal que
A\,x_{0} \;=\; B\,x_{0}.
Queremos mostrar que isso implica que C não é inversível, ou seja, que C é singular. Para isso, vamos usar o conceito de núcleo (ou espaço nulo) de uma matriz e o fato de que uma matriz é inversível se e só se seu núcleo contém apenas o vetor zero.

Passo 2

Da igualdade A\,x_{0} = B\,x_{0} subtraímos membro a membro B\,x_{0} de A\,x_{0}. Isso nos leva a
A\,x_{0} \;-\; B\,x_{0} \;=\; 0 \quad\Longrightarrow\quad (A - B)\,x_{0} \;=\; 0.
Mas A-B = C, logo
C\,x_{0} = 0.

Passo 3

Acabamos de encontrar um vetor x_{0}\neq 0 tal que
C\,x_{0} = 0.
Isso significa que x_{0} pertence ao núcleo de C, e como x_{0} não é o vetor zero, concluímos que o núcleo de C é não trivial.

Passo 4

Uma propriedade fundamental de matrizes quadradas é:
\emph{uma matriz é inversível se e somente se seu núcleo é o conjunto \{0\}.}
Como o núcleo de C não é trivial (contém x_{0}\neq 0), segue que C não pode ser inversível.

Resposta

C é singular.

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