Sejam
e
matrizes
e seja
. Mostre que se
e
, então
deve ser singular (não possui inversa).
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes quadradas
e
de ordem
e define
. Ele nos diz que existe um vetor
tal que
Queremos mostrar que isso implica que
não é inversível, ou seja, que
é singular. Para isso, vamos usar o conceito de núcleo (ou espaço nulo) de uma matriz e o fato de que uma matriz é inversível se e só se seu núcleo contém apenas o vetor zero.
Passo 2
Da igualdade
subtraímos membro a membro
de
. Isso nos leva a
Mas
, logo
Passo 3
Acabamos de encontrar um vetor
tal que
Isso significa que
pertence ao núcleo de
, e como
não é o vetor zero, concluímos que o núcleo de
é não trivial.
Passo 4
Uma propriedade fundamental de matrizes quadradas é:
\emph{uma matriz é inversível se e somente se seu núcleo é o conjunto .}
Como o núcleo de não é trivial (contém
), segue que
não pode ser inversível.
\emph{uma matriz é inversível se e somente se seu núcleo é o conjunto
Como o núcleo de