Escreva os seguintes números complexos na forma trigonométrica:
(g) \left(\frac{i}{1+i}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo
z = \Bigl(\frac{i}{1+i}\Bigr)^{5}
na forma trigonométrica r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr). O conteúdo é potenciação e divisão de números complexos em forma trigonométrica; vamos precisar calcular módulo e argumento antes de elevar à quinta potência.

Passo 2

Primeiro simplificamos
\frac{i}{1+i}
racionalizando o denominador. Multiplicamos numerador e denominador por 1-i:
\frac{i}{1+i} \;=\;\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)} \;=\;\frac{i - i^2}{1 - i^2} \;=\;\frac{i + 1}{1 + 1} \;=\;\frac{1+i}{2}.

Passo 3

Escrevemos \frac{1+i}{2} na forma x + iy:
x = \tfrac12,\quad y = \tfrac12.
O módulo é
r_1 = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\tfrac14 + \tfrac14} = \sqrt{\tfrac12} = \frac{1}{\sqrt2},
e o argumento (no primeiro quadrante) é
\theta_1 = \arctan\!\bigl(\tfrac yx\bigr) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}.
Logo
\frac{i}{1+i} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{\sqrt2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr).

Passo 4

Agora elevamos à quinta potência usando \bigl(r_1 e^{i\theta_1}\bigr)^5 = r_1^5 e^{i5\theta_1}. Assim
r = r_1^5 = \Bigl(\frac{1}{\sqrt2}\Bigr)^5 = \frac{1}{(\sqrt2)^5} = \frac{1}{4\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{8},
e
\theta = 5\,\theta_1 = 5\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}.

Resposta

\Bigl(\frac{i}{1+i}\Bigr)^{5} \;=\;\frac{\sqrt2}{8}\,\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr).

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