Use as proposições 8.12 e/ou 8.13 e prove que
cos (2 a)=1-2 sen^2(a), isto é, sen^2(a)=1-cos (2 a)2

Passo 1

O enunciado pede para usar as proposições 8.12 e 8.13 (que dão, respectivamente, as fórmulas de soma de ângulos e a identidade pitagórica sen^2(a)+cos^2(a)=1) para provar a identidade de ângulo duplo
cos(2a)=1-2,sen^2(a)
e então isolar sen^2(a).

Passo 2

Pela proposição 8.12 (fórmula de soma de ângulos), temos
cos(2a)=cos(a+a)=cos(a)cos(a)-sen(a)sen(a)
Logo,
cos(2a)=cos^2(a)-sen^2(a)

Passo 3

Pela proposição 8.13 (identidade pitagórica), sabemos que
sen^2(a)+cos^2(a)=1 Longrightarrow cos^2(a)=1-sen^2(a)

Passo 4

Substituindo cos^2(a)=1-sen^2(a) em cos(2a)=cos^2(a)-sen^2(a), obtemos
cos(2a) = l(1-sen^2(a)r)-sen^2(a) =1-2,sen^2(a)

Passo 5

Basta agora isolar sen^2(a). Da igualdade
cos(2a)=1-2,sen^2(a)
subtraímos cos(2a) e depois dividimos por 2, resultando em
2,sen^2(a)=1-cos(2a) Longrightarrow sen^2(a)=1-cos(2a)2

Resposta

cos(2a)=1-2,sen^2(a) e, equivalentemente,
sen^2(a)=1-cos(2a)2

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