Encontre, se existir os limites abaixo:
lim (x, y, z) (0,0,0) x z-y^2x^2+y^2+z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o limite da função x z - y^2x^2 + y^2 + z^2 quando (x, y, z) se aproxima de (0,0,0). Isso está dentro do estudo de limites em várias variáveis, onde a gente precisa verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos para chegar ao ponto (0,0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0 e z = 0. Substituindo na função:
x cdot 0 - 0^2x^2 + 0^2 + 0^2 = 0x^2 = 0
Então, nesse caminho, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar o limite ao longo do eixo y, onde x = 0 e z = 0:
0 cdot 0 - y^20^2 + y^2 + 0^2 = -y^2y^2 = -1
Nesse caso, o limite é -1.

Passo 4

Como vimos, ao seguir dois caminhos diferentes, a gente obteve limites diferentes: 0 e -1. Isso significa que o resultado depende do caminho que escolhemos para chegar em (0,0,0).

Resposta

Como chegamos a limites diferentes seguindo caminhos distintos, o limite lim (x, y, z) (0,0,0) x z - y^2x^2+y^2+z^2 não existe.

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