4- Uma pessoa aplica R \ 33.500,00 àà38,4 % ao ano. Algum tempo depois, a taxa é aumentada paraé4,5 % ao mês. Determine o prazo em que vigorou a taxa composta deê4,5 % ao mês, sabendo-se que em 10 meses os juros totalizaram Rê$12.462,00$.

Passo 1

O enunciado diz que uma pessoa aplica P = 33\,500 reais sob juros compostos a 38{,}4\% ao ano. Após algum tempo, a taxa passa a ser de 4{,}5\% ao mês. Sabe‐se que, em um total de 10 meses desde a aplicação, os juros acumulados chegam a 12\,462 reais. Precisamos descobrir quantos desses 10 meses foram à taxa de 4{,}5\% ao mês.

Passo 2

Transformamos a taxa de 38{,}4\% ao ano em taxa mensal efetiva i_m usando
1 + i_m = (1 + 0{,}384)^{\tfrac{1}{12}}
Logo,
i_m = (1{,}384)^{\tfrac{1}{12}} - 1.

Passo 3

Sejam x os meses à 4{,}5\% e 10 - x os meses à i_m. O montante final é
A = P \,\bigl(1 + i_m\bigr)^{10 - x} \,(1 + 0{,}045)^{x}.
Como os juros totais são 12\,462, temos
A - P = 12\,462 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(1 + i_m\bigr)^{10 - x} \,(1{,}045)^{x} = 1 + \frac{12\,462}{33\,500}.

Passo 4

Tomando logaritmo natural e isolando x:
(10 - x)\ln(1 + i_m) \;+\; x\ln(1{,}045) = \ln\!\Bigl(1 + \tfrac{12\,462}{33\,500}\Bigr).
Daí
x = \frac{\displaystyle \ln\!\bigl(1 + \tfrac{12\,462}{33\,500}\bigr)\;-\;10\,\ln(1 + i_m)}% {\displaystyle \ln(1{,}045)\;-\;\ln(1 + i_m)}.
Numericamente, \ln(1 + i_m)\approx0,02702, \ln(1{,}045)\approx0,04402 e \ln(1+12\,462/33\,500)\approx0,31648, o que dá
x\approx2{,}7\text{ meses}.

Resposta

A taxa de 4{,}5\% ao mês vigorou aproximadamente 2{,}7 meses (ou cerca de 3 meses).

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