Guestão 9. Obtenha a expansão em série de Taylor de cada uma das funções abaixo na região indicada:
f(z)=cos (z) para |z-pi / 2| (Dica: cos (z)=-sen(z-pi / 2) );

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(z)=cos(z) centrada em z0=pi/2. O conteúdo é séries de Taylor de funções elementares, e vamos precisar das expansões conhecidas de sin(w) ou cos(w) e de uma mudança de variável w=z-pi/2.

Passo 2

Vamos usar a dica cos(z)=-sin(z-pi/2). Definindo w=z-pi/2, temos
cos(z)=cosl(w+pi/2r)=-sin(w)
$$
Agora lembramos da expansão de Taylor de Agora <=mbramos da expansão de Taylor de $sin(w)$ em torno de $w=0$: em torno de :
$$\sin(w)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{w^{2n+1}}{(2n+1)!}.
$$

Passo 3

Substituindo em -sin(w) obtemos:
cos(z)=-sumn=0^infty(-1)^nw^2n+1(2n+1)!= sumn=0^infty(-1)^n+1w^2n+1(2n+1)!,
onde lembramos que w=z-pi/2. Essa série converge para todo z, pois é inteira.

Passo 4

Portanto a expansão de Taylor de cos(z) em torno de z0=pi/2 é obtida trocando w por z-pi/2 na expressão anterior.

Resposta

cos(z)=sumn=0^infty(-1)^n+1(z-pi/2)^2n+1(2n+1)!, |z-pi/2|

Exercícios relacionados