Guestão 9. Obtenha a expansão em série de Taylor de cada uma das funções abaixo na região indicada:
para
(Dica:
);
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
centrada em
. O conteúdo é séries de Taylor de funções elementares, e vamos precisar das expansões conhecidas de
ou
e de uma mudança de variável
.
Passo 2
Vamos usar a dica
. Definindo
, temos
$$
Agora lembramos da expansão de Taylor de em torno de
:
Agora lembramos da expansão de Taylor de
$$\sin(w)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{w^{2n+1}}{(2n+1)!}.
$$
Passo 3
Substituindo em
obtemos:
onde lembramos que
. Essa série converge para todo
, pois é inteira.
Passo 4
Portanto a expansão de Taylor de
em torno de
é obtida trocando
por
na expressão anterior.