Encontre, se existirem, as inversas das seguintes matrizes, utilizando o método de Gauss-Jordan:
(cccc1 & 2 & -5 & 4 2 & 5 & 12 & 7 3 & 5 & 17 & 8 1 & 1 & 7 & 4)

Passo 1

O problema pede a inversa da matriz
A = 1 & 2 & -5 & 4 2 & 5 & 12 & 7 3 & 5 & 17 & 8 1 & 1 & 7 & 4
usando o método de Gauss–Jordan. Vamos montar o sistema aumentado l[A,|,I4r] e aplicar operações de linha até obter l[I4,|,A^-1r].

Passo 2

Montamos o aumentado inicial e zeramos as entradas abaixo do pivô em a11=1:
[cccc|cccc 1 & 2 & -5 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 2 & 5 & 12 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 3 & 5 & 17 & 8 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 7 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
R 2 R 2 2cdotR 1, R 3 R 3 3cdotR 1, R 4 R 4–R 1, resultando em
[cccc|cccc 1 & 2 & -5 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 22 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 32 & -4 & -3 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 12 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Com o pivô em a22=1, zeramos em coluna 2:
R 1 R 1 2cdotR 2, R 3 R 3+R 2, R 4 R 4+R 2, obtendo
[cccc|cccc 1 & 0 & -49 & 6 & 5 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 22 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 54 & -5 & -5 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 34 & -1 & -3 & 1 & 0 & 1 ]

Passo 4

Fazemos o pivô em a33=54 virar 1: R 3 ( 1/ 54) cdotR 3,
[cccc|cccc 1 & 0 & -49 & 6 & 5 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 22 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac554 & -tfrac554 & tfrac154 & tfrac154 & 0 0 & 0 & 34 & -1 & -3 & 1 & 0 & 1 ]
Depois zeramos na coluna 3:
R 1 R 1+49cdotR 3, R 2 R 2 22cdotR 3, R 4 R 4 34cdotR 3, resultando em
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & tfrac7954 & tfrac2554 & -tfrac5954 & tfrac4954 & 0 0 & 1 & 0 & tfrac2827 & tfrac127 & tfrac1627 & -tfrac1127 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac554 & -tfrac554 & tfrac154 & tfrac154 & 0 0 & 0 & 0 & tfrac5827 & tfrac427 & tfrac1027 & -tfrac1727 & 1 ]

Passo 5

Pivô em a44=tfrac5827 vira 1: R 4 tfrac2758 cdotR 4,
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & tfrac7954 & tfrac2554 & -tfrac5954 & tfrac4954 & 0 0 & 1 & 0 & tfrac2827 & tfrac127 & tfrac1627 & -tfrac1127 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac554 & -tfrac554 & tfrac154 & tfrac154 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & tfrac229 & tfrac529 & -tfrac1758 & tfrac2758 ]

Passo 6

Zeramos a coluna 4 nas outras linhas:
R 1 R 1 tfrac7954 cdotR 4,
R 2 R 2 tfrac2827 cdotR 4,
R 3 R 3+ tfrac554 cdotR 4.
O bloco da esquerda vira I4 e o bloco da direita passa a ser A^-1:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & tfrac2158 & -tfrac3929 & tfrac155116 & -tfrac79116 0 & 1 & 0 & 0 & -tfrac129 & tfrac1229 & -tfrac329 & -tfrac1429 0 & 0 & 1 & 0 & -tfrac558 & tfrac129 & -tfrac1116 & tfrac5116 0 & 0 & 0 & 1 & tfrac229 & tfrac529 & -tfrac1758 & tfrac2758 ]

Resposta

A^-1 = 2158 & -3929 & 155116 & -79116[6pt] -129 & 1229 & -329 & -1429[6pt] -558 & 129 & -1116 & 5116[6pt] 229 & 529 & -1758 & 2758 ]

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