Utilizando o método de Gauss-Jordan, encontre a inversa de Rtheta=(cccos theta & -sin theta sin theta & cos theta)

Passo 1

O enunciado pede a inversa de
Rtheta = costheta & -sintheta sintheta & costheta
usando o método de Gauss–Jordan. Vamos aplicar operações elementares em linhas na matriz aumentada l[Rthetamid Ir].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
(cc|cc costheta & -sintheta & 1 & 0 sintheta & costheta & 0 & 1 )

Passo 3

Normalizamos o pivô costheta da primeira linha dividindo-a por costheta (supondo costhetaneq0):
R1 1costheta,R1 Longrightarrow (cc|cc 1 & -tantheta & sectheta & 0 sintheta & costheta & 0 & 1 )

Passo 4

Eliminamos o elemento sintheta em R2 usando R2 R2-sintheta,R1 e simplificamos:
R2-sintheta,R1 =l[,0,;costheta+tfracsin^2thetacosthetamid -tfracsinthetacostheta,;1r] =l[,0,;secthetamid -tantheta,;1r]
Ficamos com
(cc|cc 1 & -tantheta & sectheta & 0 0 & sectheta & -tantheta & 1 )

Passo 5

Normalizamos o pivô da segunda linha multiplicando R2 por costheta:
R2 costheta,R2 Longrightarrow (cc|cc 1 & -tantheta & sectheta & 0 0 & 1 & -sintheta & costheta )

Passo 6

Eliminamos o elemento -tantheta em R1 usando R1 R1+tantheta,R2 e simplificamos:
R1+tantheta,R2 =l[,1,0mid sectheta-tanthetasintheta,;tanthetacosthetar] =l[,1,0mid costheta,;sinthetar]
Obtemos então
(cc|cc 1 & 0 & costheta & sintheta 0 & 1 & -sintheta & costheta )

Resposta

Rtheta^-1 = costheta & sintheta -sintheta & costheta = R-theta

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