Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
(a) Se
for uma matriz que resulta da troca de duas linhas de uma matriz
e se
for invertível, então
é invertível.
(b) Se
e
for invertível, então
.
(c) O sistema linear homogêneo
possuirá infinitas soluções se, e somente se,
não for invertível.
(a) Se
(b) Se
(c) O sistema linear homogêneo
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre matrizes quadradas
e
e pede para dizer se cada uma é verdadeira ou falsa, com demonstração ou justificativa. O conteúdo envolve:
- operações elementares em matrizes e efeito no determinante (para (a)),
- propriedades de inversíveis e álgebra matricial (para (b)),
- relação entre invertibilidade e número de soluções de sistemas homogêneos via Teorema de Rango e Núcleo (para (c)).
Passo 2
Afirmativa (a): “Se
resulta da troca de duas linhas de
e
é invertível, então
é invertível.”
Demonstração: trocar duas linhas de equivale a multiplicar
por uma matriz elementar
de troca de linhas, e é conhecido que toda matriz elementar é invertível (pois aplicar a mesma troca restaura
). Assim
Demonstração: trocar duas linhas de
onde
é invertível e
é invertível por hipótese. Logo
é produto de invertíveis e, portanto, invertível.
Passo 3
Afirmativa (b): “Se
e
for invertível, então
.”
Justificativa: multiplicamos a igualdade à esquerda por
, obtendo
Justificativa: multiplicamos a igualdade
Passo 4
Afirmativa (c): “O sistema homogêneo
terá infinitas soluções se, e somente se,
não for invertível.”
Justificativa: para uma matriz quadrada , ela é invertível
. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity),
Justificativa: para uma matriz quadrada
Se
é invertível,
, então
e a única solução é o trivial
. Se
não é invertível,
e logo
, isto é, existem parâmetros livres e, portanto, infinitas soluções.
Resposta
(a) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.
(c) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.
(c) Verdadeiro.