Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
(a) Se B for uma matriz que resulta da troca de duas linhas de uma matriz A e se A for invertível, então B é invertível.
(b) Se A B=0 e A for invertível, então B=0.
(c) O sistema linear homogêneo A X=0 possuirá infinitas soluções se, e somente se, A não for invertível.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre matrizes quadradas A e B e pede para dizer se cada uma é verdadeira ou falsa, com demonstração ou justificativa. O conteúdo envolve:
  • operações elementares em matrizes e efeito no determinante (para (a)),
  • propriedades de inversíveis e álgebra matricial (para (b)),
  • relação entre invertibilidade e número de soluções de sistemas homogêneos via Teorema de Rango e Núcleo (para (c)).

Passo 2

Afirmativa (a): “Se B resulta da troca de duas linhas de A e A é invertível, então B é invertível.”
Demonstração: trocar duas linhas de A equivale a multiplicar A por uma matriz elementar E de troca de linhas, e é conhecido que toda matriz elementar é invertível (pois aplicar a mesma troca restaura A). Assim
B = E,A
onde E é invertível e A é invertível por hipótese. Logo B é produto de invertíveis e, portanto, invertível.

Passo 3

Afirmativa (b): “Se A,B=0 e A for invertível, então B=0.”
Justificativa: multiplicamos a igualdade A,B=0 à esquerda por A^-1, obtendo
A^-1(A,B) = A^-10 Longrightarrow (I)B = 0 Longrightarrow B=0

Passo 4

Afirmativa (c): “O sistema homogêneo A,X=0 terá infinitas soluções se, e somente se, A não for invertível.”
Justificativa: para uma matriz quadrada ntimes n, ela é invertível iff det(A)neq0 iff rank(A)=n. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity),
dim(ker A) = n - rank(A)
Se A é invertível, rank(A)=n, então dim(ker A)=0 e a única solução é o trivial X=0. Se A não é invertível, rank(A)<n e logo dim(ker A)>0, isto é, existem parâmetros livres e, portanto, infinitas soluções.

Resposta

(a) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.
(c) Verdadeiro.

Exercícios relacionados