Resolva os problemas
lut=7 ux x, 0<x<pi, t>0, ux(0, t)=0, u(pi, t)=0, t>0, u(x, 0)=pi^2-x^2, 0 <= x <= pi

Passo 1

O enunciado é o problema de calor unidimensional
ut=7,uxx,&0<x<pi,;t>0, ux(0,t)=0,;u(pi,t)=0,&t>0, u(x,0)=pi^2-x^2,&0<= x<=pi
Vamos usar separação de variáveis e expansão em senóides/cossinóides que satisfaçam a condição de Neumann em x=0 e Dirichlet em x=pi.

Passo 2

Procuramos solução da forma u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo em ut=7uxx
T'7T=X''X=-lambda
Assim obtemos
T'(t)=-7lambda,T(t), X''(x)+lambda,X(x)=0,
com condições X'(0)=0 e X(pi)=0.

Passo 3

A equação X''+lambda X=0 tem solução geral
X(x)=Acos(raizlambda,x)+Bsin(raizlambda,x).
A condição X'(0)=0 obriga B=0. Então
X(x)=Acos(kx), k=raizlambda
Da condição X(pi)=0 vem cos(kpi)=0, ou seja
knpi=(2n+1)pi2 ;Rightarrow; kn=2n+12,
logo
lambdan=l(tfrac2n+12r)^2, Xn(x)=cos!l(tfrac2n+12xr), ;n=0,1,2,dots
Essas funções são ortogonais em [0,pi] com
integral0^piXm(x)Xn(x),dx =pi2,de<amn

Passo 4

A solução geral que satisfaz as BCs espaciais é
u(x,t) =sumn=0^inftyan,e^-7lambdan,t,Xn(x) =sumn=0^inftyan,e^-tfrac7(2n+1)^24t cos!l(tfrac2n+12xr)
Para ajustar a condição inicial u(x,0)=pi^2-x^2, usamos a ortogonalidade:
an =2piintegral0^pil(pi^2-x^2r) cos!l(tfrac2n+12xr),dx

Passo 5

Vamos calcular
In=integral0^pi(pi^2-x^2)cos(kn x),dx, kn=2n+12
Separando
In =pi^2integral0^picos(kn x),dx -integral0^pix^2cos(kn x),dx
  1. integral0^picos(kn x),dx =sin(knpi)-sin(0)kn =(-1)^nkn
  2. Por partes em integral0^pix^2cos(kn x),dx obtém-se
    2picos(knpi)kn^2=0.
    Logo
In =pi^2(-1)^nkn -;0 =pi^2(-1)^nkn
Então
an =2pi;In =2pi,pi^2(-1)^nkn =2pi,(-1)^nkn =2pi,(-1)^n;22n+1 =4pi,(-1)^n2n+1

Passo 6

Portanto a solução final é
boxed u(x,t) =sumn=0^infty 4pi,(-1)^n2n+1 ;e^-tfrac7(2n+1)^24,t ;cos!l(tfrac2n+12,xr)

Resposta

u(x,t) =sumn=0^infty 4pi,(-1)^n2n+1 ;e^-7(2n+1)^24,t ;cos!l(tfrac2n+12xr)

Exercícios relacionados