Resolva os problemas
Passo 1
O enunciado é o problema de calor unidimensional
Vamos usar separação de variáveis e expansão em senóides/cossinóides que satisfaçam a condição de Neumann em
x=0 e Dirichlet em
x=pi .
Passo 2
Procuramos solução da forma
u(x,t)=X(x),T(t) . Substituindo em
ut=7uxx dá
Assim obtemos
com condições
X'(0)=0 e
X(pi)=0 .
Passo 3
A equação
X''+lambda X=0 tem solução geral
X(x)=Acos(raizlambda,x)+Bsin(raizlambda,x) .
A condiçãoX'(0)=0 obriga
B=0 . Então
A condição
Da condição
X(pi)=0 vem
cos(kpi)=0 , ou seja
logo
Essas funções são ortogonais em
[0,pi] com
Passo 4
A solução geral que satisfaz as BCs espaciais é
Para ajustar a condição inicial
u(x,0)=pi^2-x^2 , usamos a ortogonalidade:
Passo 5
Vamos calcular
Separando
-
integral0^picos(kn x),dx =sin(knpi)-sin(0)kn =(-1)^nkn - Por partes em
obtém-seintegral0^pix^2cos(kn x),dx
.2picos(knpi)kn^2=0
Logo
Então
Passo 6
Portanto a solução final é