Encontre, se exitirem, os parâmetros b >= 0 e k>0 que definem um oscilador harmônico ddotx+2 b dotx+k x=0 de modo que:
c) Há ressonância com a força externa F(t)=5 cos (3 t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os parâmetros b >= 0 e k > 0 que definem um oscilador harmônico descrito pela equação ddotx + 2bdotx + kx = 0. A parte específica que vamos resolver é determinar quando há ressonância com uma força externa F(t) = 5 cos(3t) .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ressonância. Em sistemas oscilatórios, ressonância ocorre quando a frequência da força externa coincide com a frequência natural do sistema, fazendo com que as oscilações atinjam amplitudes máximas.

Passo 3

A equação dada é a de um oscilador harmônico amortecido forçado:
ddotx + 2bdotx + kx = F(t)
Onde:
  • ddotx é a aceleração,
  • dotx é a velocidade,
  • x é a posição,
  • b é o coeficiente de amortecimento,
  • k é a constante da mola,
  • F(t) = 5 cos(3t) é a força externa aplicada.

Passo 4

A frequência natural ( omegan ) de um oscilador harmônico sem amortecimento é dada por:
omegan = raizk
Já a força externa tem uma frequência de omega = 3 , rad/s .
Para que ocorra ressonância, precisamos que:
omegan = omega
Ou seja:
raizk = 3

Passo 5

Resolvendo para k :
raizk = 3 implies k = 9

Passo 6

Agora, precisamos considerar o amortecimento b . Para que a ressonância seja significativa, o sistema deve estar subamortecido, ou seja, b < omegan .
Já que omegan = 3 , então:
b < 3
E como b >= 0 , os possíveis valores de b são:
0 <= b < 3

Resposta

Os parâmetros que definem um oscilador harmônico com ressonância para a força externa F(t) = 5 cos(3t) são:
k = 9 e 0 <= b < 3

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