Encontre, se exitirem, os parâmetros
e
que definem um oscilador harmônico
de modo que:
c) Há ressonância com a força externa
.
c) Há ressonância com a força externa
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os parâmetros
e
que definem um oscilador harmônico descrito pela equação
. A parte específica que vamos resolver é determinar quando há ressonância com uma força externa
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é ressonância. Em sistemas oscilatórios, ressonância ocorre quando a frequência da força externa coincide com a frequência natural do sistema, fazendo com que as oscilações atinjam amplitudes máximas.
Passo 3
A equação dada é a de um oscilador harmônico amortecido forçado:
Onde:
-
é a aceleração, -
é a velocidade, -
é a posição, -
é o coeficiente de amortecimento, -
é a constante da mola, -
é a força externa aplicada.
Passo 4
A frequência natural (
) de um oscilador harmônico sem amortecimento é dada por:
Já a força externa tem uma frequência de
.
Para que ocorra ressonância, precisamos que:
Ou seja:
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, precisamos considerar o amortecimento
. Para que a ressonância seja significativa, o sistema deve estar subamortecido, ou seja,
.
Já que
, então:
E como
, os possíveis valores de
são:
Resposta
Os parâmetros que definem um oscilador harmônico com ressonância para a força externa
são: