Resolva os problemas
lut=3 ux x, 0<x<pi, t>0, u(0, t)=0, ux(pi, t)=0, t>0, u(x, 0)=x(pi-x), 0 <= x <= pi

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação do calor
ut=3,uxx, 0<x<pi,;t>0,
com contorno misto
;u(0,t)=0,;ux(pi,t)=0,
e condição inicial
;u(x,0)=x(pi-x).
O método é separação de variáveis, levando a um problema de autovalores para X''+lambda X=0 e posterior expansão em séries próprias de senos.

Passo 2

Buscamos soluções da forma u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo em ut=3uxx e separando, vem
T'3T=X''X=-lambda
A parte espacial
X''+lambda X=0, X(0)=0,;X'(pi)=0
tem solução não-trivial X(x)=Asin(raizlambda,x) e a condição X'(pi)=0
cos(raizlambda,pi)=0;Longrightarrow;raizlambdan=2n-12, n=1,2,dots
Logo
lambdan=(2n-1)^24, Xn(x)=sin!l(tfrac2n-12xr)

Passo 3

A parte temporal satisfaz Tn'=-3lambdanTn, fornecendo
Tn(t)=e^-3lambdan t
Então a solução geral que respeita a condição inicial é
u(x,t)=sumn=1^inftybn,e^-3lambdan t,sin!l(tfrac2n-12xr),
onde bn vem da expansão de
u(x,0)=x(pi-x) =sumn=1^infty bnsin!l(tfrac2n-12xr)
e usamos a ortogonalidade
integral0^pisin!l(tfrac2n-12xr)sin!l(tfrac2m-12xr),dx=pi2,de<anm

Passo 4

Os coeficientes são
bn=2piintegral0^pix(pi-x),sin!l(tfrac2n-12xr),dx
Fazendo integrações por partes para
integral0^pix(pi-x)sin(kx),dx com k=tfrac2n-12, obtém-se
integral0^pix(pi-x)sin(kx),dx =(-1)^npik^2+2k^3
Logo
bn =2pil((-1)^npik^2+2k^3r) =2(-1)^nk^2+4pi,k^3

Passo 5

Substituindo k=tfrac2n-12 e lambdan=k^2 obtemos
bn =8(-1)^n(2n-1)^2+32pi,(2n-1)^3, e^-3lambdan t=e^-3(2n-1)^24t

Resposta

u(x,t) =sumn=1^inftyl(8(-1)^n(2n-1)^2+32pi,(2n-1)^3r) ,exp!l(-tfrac3(2n-1)^24tr) ;sin!l(tfrac2n-12xr)

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