Encontre, se exitirem, os parâmetros
e
que definem um oscilador harmônico
de modo que:
d) Toda solução tem a forma
.
d) Toda solução tem a forma
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
, que representa um oscilador harmônico. A tarefa é encontrar os valores dos parâmetros
e
para que toda solução dessa equação tenha a forma
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem e soluções características.
Passo 2
Primeiro, a gente sabe que para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes,
, assumimos soluções da forma
. Isso nos leva à chamada “equação característica”.
Passo 3
Vamos assumir
e substituir na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), temos:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 4
A solução geral da equação diferencial depende das raízes dessa equação característica. A forma da solução fornecida,
, indica que temos raízes reais e iguais, ou seja, uma raiz dupla. Isso acontece quando o discriminante da equação característica é zero.
Passo 5
A equação característica é
. O discriminante
dessa equação é dado por:
Para ter raízes reais e iguais, precisamos que
. Então:
Passo 6
Além disso, sabemos que a raiz dupla é
. Isso significa que substituindo na equação característica:
Passo 7
Já que do passo 5 temos
, podemos substituir
por
na equação
:
Passo 8
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Então,
.
Passo 9
Agora que temos
, usamos
para encontrar
:
Resposta
Os parâmetros que satisfazem as condições são
e
.