Encontre, se exitirem, os parâmetros b >= 0 e k>0 que definem um oscilador harmônico ddotx+2 b dotx+k x=0 de modo que:
d) Toda solução tem a forma x(t)=c1 e^-3 t+c2 t e^-3 t.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo ddotx + 2b dotx + kx = 0, que representa um oscilador harmônico. A tarefa é encontrar os valores dos parâmetros b >= 0 e k > 0 para que toda solução dessa equação tenha a forma x(t) = c1 e^-3 t + c2 t e^-3 t. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem e soluções características.

Passo 2

Primeiro, a gente sabe que para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, ddotx + 2b dotx + kx = 0, assumimos soluções da forma x(t) = e^lambda t. Isso nos leva à chamada “equação característica”.

Passo 3

Vamos assumir x(t) = e^lambda t e substituir na equação diferencial:
ddotx + 2b dotx + kx = 0 Rightarrow lambda^2 e^lambda t + 2b lambda e^lambda t + k e^lambda t = 0
Dividindo ambos os lados por e^lambda t (que nunca é zero), temos:
lambda^2 + 2b lambda + k = 0
Essa é a nossa equação característica.

Passo 4

A solução geral da equação diferencial depende das raízes dessa equação característica. A forma da solução fornecida, x(t) = c1 e^-3 t + c2 t e^-3 t, indica que temos raízes reais e iguais, ou seja, uma raiz dupla. Isso acontece quando o discriminante da equação característica é zero.

Passo 5

A equação característica é lambda^2 + 2b lambda + k = 0. O discriminante D dessa equação é dado por:
D = (2b)^2 - 4 cdot 1 cdot k = 4b^2 - 4k
Para ter raízes reais e iguais, precisamos que D = 0. Então:
4b^2 - 4k = 0 Rightarrow b^2 = k

Passo 6

Além disso, sabemos que a raiz dupla é lambda = -3. Isso significa que substituindo na equação característica:
(-3)^2 + 2b(-3) + k = 0 Rightarrow 9 - 6b + k = 0

Passo 7

Já que do passo 5 temos b^2 = k, podemos substituir k por b^2 na equação 9 - 6b + b^2 = 0:
b^2 - 6b + 9 = 0

Passo 8

Resolvendo essa equação quadrática para b:
b = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 92 cdot 1 = 6 pm raiz36 - 362 = 62 = 3
Então, b = 3.

Passo 9

Agora que temos b = 3, usamos k = b^2 para encontrar k:
k = 3^2 = 9

Resposta

Os parâmetros que satisfazem as condições são b = 3 e k = 9.

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