Encontre a solução geral de
. Resposta:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para isso, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação de Cauchy-Euler, que tem a forma
. A gente assume uma solução da forma
, onde
é um número que vamos descobrir.
Passo 3
Vamos substituir
na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 4
Como
nunca é zero, a equação se reduz a:
Simplificando:
Passo 5
Com os valores de
e
, as soluções da equação homogênea são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) da equação completa
. Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação completa:
Simplificando:
Passo 8
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.