Encontre a solução geral de t^2 y^prime prime+t y^prime-y=6 t^5. Resposta: yh(t)= c1 t+c2 / t e yp(t)=t^5 / 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial t^2 y'' + t y' - y = 6 t^5 . Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para isso, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: t^2 y'' + t y' - y = 0 . Essa é uma equação de Cauchy-Euler, que tem a forma a t^2 y'' + b t y' + c y = 0 . A gente assume uma solução da forma y = t^m , onde m é um número que vamos descobrir.

Passo 3

Vamos substituir y = t^m na equação homogênea:
y' = m t^m-1
y'' = m(m-1) t^m-2
Substituindo na equação:
t^2 cdot m(m-1) t^m-2 + t cdot m t^m-1 - t^m = 0
Simplificando:
m(m-1) t^m + m t^m - t^m = 0
[m(m-1) + m - 1] t^m = 0

Passo 4

Como t^m nunca é zero, a equação se reduz a:
m(m-1) + m - 1 = 0
Simplificando:
m^2 - m + m - 1 = 0
m^2 - 1 = 0
m^2 = 1 implies m = pm 1

Passo 5

Com os valores de m = 1 e m = -1 , as soluções da equação homogênea são:
yh(t) = c1 t + c2 1t
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp(t) ) da equação completa t^2 y'' + t y' - y = 6 t^5 . Como o lado direito é 6 t^5 , vamos tentar uma solução da forma yp(t) = A t^5 , onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculando as derivadas de yp(t) :
yp' = 5 A t^4
yp'' = 20 A t^3
Substituindo na equação completa:
t^2 cdot 20 A t^3 + t cdot 5 A t^4 - A t^5 = 6 t^5
Simplificando:
20 A t^5 + 5 A t^5 - A t^5 = 6 t^5
(20 A + 5 A - A) t^5 = 6 t^5
24 A t^5 = 6 t^5

Passo 8

Igualando os coeficientes:
24 A = 6 implies A = 624 = 14
Então, a solução particular é:
yp(t) = 14 t^5

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = yh(t) + yp(t) = c1 t + c2t + t^54
Onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

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