(Simmons, p. 94, exer. 4 ) Encontre a solução geral de
, sabendo que
é solução. Resposta:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de Cauchy–Euler
e informa que
é uma solução. Para encontrar a solução geral, vamos usar o método de redução de ordem, que nos permite obter uma segunda solução linearmente independente quando já conhecemos uma.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
dividindo por
. Assim
logo
Passo 3
Pela fórmula de redução de ordem, a segunda solução é
Aqui
, então
Substituindo
,
Como constantes multiplicativas não mudam a independência linear, podemos tomar
Passo 4
Com as duas soluções
e
linearmente independentes, a solução geral da equação é combinação linear delas.
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.