(Simmons, p. 94, exer. 4 ) Encontre a solução geral de t^2 y^prime prime+t y^prime-4 y=0, sabendo que t^2 é solução. Resposta: y1(t)=t^2, y2(t)=1 / t^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de Cauchy–Euler
t^2y'' + t,y' - 4y = 0
e informa que ,y1(t)=t^2 é uma solução. Para encontrar a solução geral, vamos usar o método de redução de ordem, que nos permite obter uma segunda solução linearmente independente quando já conhecemos uma.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y'' + P(t),y' + Q(t),y = 0,
dividindo por t^2. Assim
y'' + 1t,y' - 4t^2,y = 0,
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P(t)=1t

Passo 3

Pela fórmula de redução de ordem, a segunda solução é
y2(t) = y1(t),integral expl(-integral P(t),dtr)y1(t)^2,dt
Aqui integral P(t),dt=integral1t,dt=ln t, então
expl(-ln tr)=1t
Substituindo y1(t)=t^2,
y2(t) = t^2,integral 1/t(t^2)^2,dt = t^2,integral t^-5,dt = t^2,l(t^-4-4r) = -14,t^-2
Como constantes multiplicativas não mudam a independência linear, podemos tomar
y2(t)=1t^2

Passo 4

Com as duas soluções y1(t)=t^2 e y2(t)=t^-2 linearmente independentes, a solução geral da equação é combinação linear delas.

Resposta

y(t) = C1,t^2 + C2,1t^2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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