Encontre, se exitirem, os parâmetros b >= 0 e k>0 que definem um oscilador harmônico ddotx+2 b dotx+k x=0 de modo que:
a) Oscile sem amortecimento com período T=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um oscilador harmônico. A gente precisa encontrar os valores de b e k na equação ddotx + 2bdotx + kx = 0 de jeito que o sistema oscile sem amortecimento e com período T = 1 . Para isso, vamos usar os conceitos de osciladores sem amortecimento e a relação entre a constante da mola k e o período da oscilação.

Passo 2

Primeiro, entende que um oscilador sem amortecimento não perde energia com o tempo, ou seja, não tem força de atrito ou resistência. Na nossa equação, o termo 2bdotx representa o amortecimento. Para que não haja amortecimento, esse termo precisa ser igual a zero. Portanto, vamos definir b = 0 .

Passo 3

Agora que sabemos que b = 0 , a equação fica mais simples: ddotx + kx = 0 . Essa é a equação de um oscilador harmônico simples sem amortecimento. A frequência angular desse sistema é omega = raizk .

Passo 4

Sabemos que o período T está relacionado com a frequência angular pela fórmula T = 2piomega . Substituindo omega = raizk , temos:
T = 2piraizk
Queremos que T = 1 , então:
1 = 2piraizk
Resolvendo para k :
raizk = 2pi k = (2pi)^2 k = 4pi^2

Resposta

Os parâmetros que satisfazem as condições são b = 0 e k = 4pi^2 .

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