Uma partícula de massa
está presa a uma mola (na horizontal), de constante
, sofre resistência do ar proporcional à velocidade
e está sob ação da força externa
.
(a) Encontre a posição
dessa partícula, para
, sabendo que em
a partícula se encontra parada na origem.
(a) Encontre a posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula presa a uma mola, sofrendo resistência do ar e sendo afetada por uma força externa. A gente vai usar conceitos de mecânica vibratória e equações diferenciais para resolver. Precisamos saber como montar a equação do movimento levando em conta a massa, a constante da mola, a resistência do ar e a força externa.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação do movimento. A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração. Aqui, a força resultante é a soma das forças da mola, da resistência do ar e da força externa. Então temos:
Onde:
-
(massa) -
(coeficiente de resistência do ar) -
(constante da mola) -
(força externa)
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é do tipo forçada e amortecida, então a solução geral é composta pela solução da equação homogênea (
) mais a solução particular (
).
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A gente encontra as raízes do polinômio característico:
Então, a solução homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos achar a solução particular (
). Como a força externa é um seno de frequência 3, tentamos uma solução na forma:
Derivamos
e substituímos na equação original para encontrar os coeficientes
e
.
Após as substituições e simplificações, encontramos:
Então, a solução particular fica:
Passo 5
Com as soluções homogênea e particular, a solução geral é:
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Em
:
Derivando
para achar
:
Em
:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é: