Uma partícula de massa m=1 está presa a uma mola (na horizontal), de constante k=9, sofre resistência do ar proporcional à velocidade Fr(v)=-6 v e está sob ação da força externa Fe(t)=3 sen(3 t).
(a) Encontre a posição x(t) dessa partícula, para t >= 0, sabendo que em t=0 a partícula se encontra parada na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula presa a uma mola, sofrendo resistência do ar e sendo afetada por uma força externa. A gente vai usar conceitos de mecânica vibratória e equações diferenciais para resolver. Precisamos saber como montar a equação do movimento levando em conta a massa, a constante da mola, a resistência do ar e a força externa.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação do movimento. A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração. Aqui, a força resultante é a soma das forças da mola, da resistência do ar e da força externa. Então temos:
m , x''(t) + c , x'(t) + k , x(t) = Fe(t)
Onde:
  • m = 1 (massa)
  • c = 6 (coeficiente de resistência do ar)
  • k = 9 (constante da mola)
  • Fe(t) = 3 sin(3t) (força externa)
Substituindo os valores:
x''(t) + 6 , x'(t) + 9 , x(t) = 3 sin(3t)

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é do tipo forçada e amortecida, então a solução geral é composta pela solução da equação homogênea ( xh(t) ) mais a solução particular ( xp(t) ).
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
x''(t) + 6 , x'(t) + 9 , x(t) = 0
A gente encontra as raízes do polinômio característico:
r^2 + 6r + 9 = 0 implies r = -3 (raiz dupla)
Então, a solução homogênea é:
xh(t) = (A + B t) e^-3t

Passo 4

Agora, vamos achar a solução particular ( xp(t) ). Como a força externa é um seno de frequência 3, tentamos uma solução na forma:
xp(t) = C sin(3t) + D cos(3t)
Derivamos xp(t) e substituímos na equação original para encontrar os coeficientes C e D .
Após as substituições e simplificações, encontramos:
C = 0 e D = -16
Então, a solução particular fica:
xp(t) = -16 cos(3t)

Passo 5

Com as soluções homogênea e particular, a solução geral é:
x(t) = (A + B t) e^-3t - 16 cos(3t)
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar A e B .
Em t = 0 :
x(0) = 0 = A - 16 implies A = 16
Derivando x(t) para achar x'(t) :
x'(t) = B e^-3t - 3(A + B t) e^-3t + 12 sin(3t)
Em t = 0 :
0 = B - 3A implies B = 12

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:
x(t) = ( 16 + 12 t ) e^-3t - 16 cos(3t)

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