(Simmons, 1d, pag. 103) Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução particular de . Resposta: .
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre uma solução particular para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolvido é o método dos coeficientes a determinar (ou método de coeficientes indeterminados). Para isso, vamos supor uma forma polinomial para compatível com o termo do lado direito.
Passo 2
Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau , ou seja, , propomos
onde , e são constantes desconhecidas.
Passo 3
Calculamos as derivadas de :
Passo 4
Substituímos , e na equação diferencial:
Desenvolvendo, obtemos
Passo 5
Agrupamos termos semelhantes em potências de :
Esse polinômio deve ser igual ao lado direito , ou seja,
Passo 6
Igualamos coeficientes de cada potência de [x):
Resolvendo:
(1]. Da primeira equação:
. Substituindo na segunda:
. Substituindo e na terceira:
Passo 7
Portanto, os valores determinados são A=5, B=4 e C=2, e a solução particular fica