(Simmons, 1d, pag. 103) Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução particular de y^prime prime-2 y^prime+5 y=12+25 x^2. Resposta: yp(x)=2+4 x+5 x^2.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre uma solução particular para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 5y = 12 + 25x^2
O conteúdo envolvido é o método dos coeficientes a determinar (ou método de coeficientes indeterminados). Para isso, vamos supor uma forma polinomial para yp(x) compatível com o termo do lado direito.

Passo 2

Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 2, ou seja, 12 + 25x^2, propomos
yp(x) = Ax^2 + Bx + C,
onde A, B e C são constantes desconhecidas.

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(x) = 2Ax + B,
yp''(x) = 2A

Passo 4

Substituímos yp, yp' e yp'' na equação diferencial:
yp'' - 2yp' + 5yp = 2A - 2(2Ax + B) + 5(Ax^2 + Bx + C)
Desenvolvendo, obtemos
2A - 4Ax - 2B + 5Ax^2 + 5Bx + 5C

Passo 5

Agrupamos termos semelhantes em potências de x:
5A,x^2 + (-4A + 5B),x + (2A - 2B + 5C)
Esse polinômio deve ser igual ao lado direito 12 + 25x^2, ou seja,
5A,x^2 + (-4A + 5B),x + (2A - 2B + 5C) = 25x^2 + 0cdot x + 12

Passo 6

Igualamos coeficientes de cada potência de [x):
Resolvendo:
(1]. Da primeira equação:
. Substituindo na segunda:
. Substituindo e na terceira:

Passo 7

Portanto, os valores determinados são A=5, B=4 e C=2, e a solução particular fica
yp(x) = 5x^2 + 4x + 2

Resposta

yp(x) = 2 + 4x + 5x^2.

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