Exercício 41. Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
f(x, y)= x yx^2+y^2 & se(x, y) neq(0,0) 0 & se(x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= xyx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[1ex] 0,& (x,y)=(0,0),
e pede o conjunto onde f é diferenciável. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, usando a regra do quociente fora da origem e a definição de diferenciabilidade no ponto (0,0).]

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), então x^2+y^2neq0 e f é quociente de funções polinomiais suaves. Pela regra do quociente, f é diferenciável em todo ponto fora de (0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) calculamos as derivadas parciais candidatas:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0, fy(0,0)=0
A forma linear proposta é L(x,y)=0cdot x+0cdot y.

Passo 4

Para verificar se f é diferenciável em (0,0) precisamos ver se
f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2 =f(x,y)raizx^2+y^2
tende a zero quando (x,y)to(0,0). Ao escolher a reta y=x (com xneq0) temos
f(x,x)=xcdot xx^2+x^2=12,
e
f(x,x)raizx^2+x^2 =tfrac12raiz2,lvert xrvert =12raiz2,lvert xrvert longrightarrowinfty quando xto0
Logo o quociente não tende a zero e f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

O conjunto dos pontos de diferenciabilidade de f é
R^2setminus(0,0)

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