Use a expansão em série de Taylor em torno da origem da função
, para mostrar que:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para usar a expansão em série de Taylor em torno da origem da função
para obter as séries de potências de
e de
.
O que vamos precisar:
– A fórmula do binômio generalizado para .
– Substituir ou
para chegar às derivadas de
e de
.
– Integrar termo a termo para recuperar as próprias funções.
O que vamos precisar:
– A fórmula do binômio generalizado para
– Substituir
– Integrar termo a termo para recuperar as próprias funções.
Passo 2
Aplicando o binômio de Newton generalizado, temos
Passo 3
(a) Sabendo que
basta substituir
no lugar de
na série anterior:
Agora integramos de
até
termo a termo, e como
obtemos
Passo 4
Escrevendo explicitamente os primeiros termos da soma em (a), vem
Passo 5
(b) Para
notamos que
notamos que
Mas
Integramos de
até
e como
fixamos a constante nula. Logo
Resposta
(a)
(b)