Encontre a expansão em séries de potências da função definida por:
f(x)=\int_{0}^{x} t e^{-t} d t.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências (em torno de x=0) da função
f(x)=\int_{0}^{x} t\,e^{-t}\,dt.
Para resolver, vamos usar a expansão de Maclaurin de e^{-t} e integrar termo a termo, pois séries de potências podem ser integradas dentro de seu raio de convergência sem problemas.

Passo 2

Escrevemos a série de Maclaurin de e^{-t}:
e^{-t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,t^{n}.
Multiplicando por t, obtemos
t\,e^{-t} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,t^{n+1}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 a x:
f(x)=\int_{0}^{x}t\,e^{-t}\,dt =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,t^{n+1}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_{0}^{x}t^{n+1}\,dt.
Cada integral é
\int_{0}^{x}t^{n+1}\,dt=\frac{x^{n+2}}{n+2},
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f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,\frac{x^{n+2}}{n+2} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\,(n+2)}\,x^{n+2}.

Passo 4

Podemos reindexar a soma definindo k=n+2, de modo que n=k-2 e k vai de 2 a \infty. Como (-1)^{k-2}=(-1)^{k}, fica
f(x)=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(k-2)!\,k}\,x^{k}.
Essa é a forma mais usual da expansão em série de potências de f(x).

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\,(n+2)}\,x^{n+2} \quad\text{ou}\quad f(x)=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(k-2)!\,k}\,x^{k}.

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