Encontre a expansão em séries de potências da função definida por:
.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências (em torno de
) da função
Para resolver, vamos usar a expansão de Maclaurin de
e integrar termo a termo, pois séries de potências podem ser integradas dentro de seu raio de convergência sem problemas.
Passo 2
Escrevemos a série de Maclaurin de
:
Multiplicando por
, obtemos
Passo 3
Agora integramos termo a termo de
a
:
Cada integral é
logo
Passo 4
Podemos reindexar a soma definindo
, de modo que
e
vai de
a
. Como
, fica
Essa é a forma mais usual da expansão em série de potências de
.