Sabendo que a série de Taylor em torno da origem das séries abaixo convergem, mostre que:
\tan x=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2 x^{5}}{15}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de \tan x em torno de x=0. Para isso vamos usar que
  1. \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x},
  2. conhecemos as séries de Taylor de \sin x e de \cos x em 0,
  3. e faremos a divisão de séries através de um “ansatz” para \tan x.

Passo 2

Primeiro, lembramos as expansões até a ordem x^5:
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7),
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6).

Passo 3

Suponhamos a expansão procurada na forma
\tan x = a_{1}x + a_{3}x^{3} + a_{5}x^{5} + O(x^{7}).
Como \tan x=\sin x/\cos x, devemos ter
\cos x \,\bigl(a_{1}x + a_{3}x^{3} + a_{5}x^{5}\bigr) =\sin x
até termos x^5.

Passo 4

Multiplicando as séries:
\biggl(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\biggr)\bigl(a_{1}x + a_{3}x^{3} + a_{5}x^{5}\bigr) = a_{1}x + \Bigl(a_{3}-\tfrac{a_{1}}{2}\Bigr)x^{3} + \Bigl(a_{5}-\tfrac{a_{3}}{2}+\tfrac{a_{1}}{24}\Bigr)x^{5} + O(x^{7}).
Esse produto deve coincidir com
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7).
Comparando coeficientes:
  • Em x^1: a_{1}=1.
  • Em x^3: a_{3}-\tfrac{a_{1}}{2}=-\tfrac{1}{6} \implies a_{3}-\tfrac12=-\tfrac16 \implies a_{3}=\tfrac13.
  • Em x^5: a_{5}-\tfrac{a_{3}}{2}+\tfrac{a_{1}}{24}=\tfrac{1}{120}. Substituindo a_{1}=1, a_{3}=\tfrac13:
a_{5}-\tfrac{1/3}{2}+\tfrac{1}{24} = a_{5}-\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{24} = a_{5}-\tfrac{4}{24}+\tfrac{1}{24} = a_{5}-\tfrac{3}{24} = a_{5}-\tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{120},
logo a_{5}=\tfrac{1}{120}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{1+15}{120}=\tfrac{16}{120}=\tfrac{2}{15}.

Resposta

\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2\,x^{5}}{15} + \cdots

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