Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
\frac{d y}{d x}=3 y ; y(1)=-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=3\,y
com a condição inicial y(1)=-1.
Esse tipo de equação é linear e separável: a ideia é escrever todos os termos em y de um lado e em x do outro para depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis colocando y com dy e x com dx:
\frac{1}{y}\,dy = 3\,dx.
Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx
que resulta em
\ln\bigl|y\bigr| = 3x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Exponenciando ambos os lados, temos a solução geral
y = K e^{3x},
onde K = e^{C} (pode ser positivo ou negativo).
Para impor a condição inicial y(1)=-1, substituímos x=1:
-1 = K e^{3\cdot1} = K e^{3} \quad\Longrightarrow\quad K = -e^{-3}.
Logo a solução particular é
y(x) = -e^{-3}\,e^{3x} = -e^{3(x-1)}.

Resposta

y(x) = -e^{3(x-1)}.

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