Seja u=(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} um vetor genérico de \mathbb{R}^{4}. Quais das funções abaixo são transformações lineares?
(b) T(u)=(1,1,1,0);

Passo 1

O enunciado define uma aplicação T\colon \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} dada por
T(x,y,z,w) = (1,1,1,0).
Queremos verificar se T é uma transformação linear, ou seja, se satisfaz aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Recordando a definição, T é linear se, para todos u,v\in\mathbb{R}^4 e todo escalar c, valem
T(u+v)=T(u)+T(v) \quad\text{e}\quad T(c\,u)=c\,T(u).

Passo 3

Um teste imediato é ver o valor de T na origem. Se T fosse linear, deveríamos ter
T(0,0,0,0) = (0,0,0,0).
Mas pelo enunciado
T(0,0,0,0) = (1,1,1,0)\neq(0,0,0,0).
Logo, T não leva o vetor zero ao zero e falha na propriedade de linearidade.

Resposta

A aplicação T(x,y,z,w)=(1,1,1,0) não é uma transformação linear.

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